Analyser les événements interdépendants Exercices pratiques
Plongez dans l'analyse des événements interdépendants avec ces exercices pratiques et leurs corrigés, parfaits pour les lycéens voulant approfondir leur maîtrise des probabilités.
Exercice Pratique sur les Événements Interdépendants en Probabilités
Dans cet exercice, nous allons analyser des événements interdépendants à travers un exemple pratique impliquant un tirage de cartes. Considérez un jeu de 52 cartes. Nous allons poser les questions suivantes :- 1. Quelle est la probabilité de tirer un As, puis un Roi sans remise ?
- 2. Quelle est la probabilité de tirer un As, puis un As sans remise ?
- 3. Si nous tirons deux cartes, quelle est la probabilité que les deux soient des cœurs ?
- 4. Quelle est la probabilité de tirer un cœur puis une carte rouge sans remise ?
Règles et Formules des Événements Dépendants
- Si A et B sont deux événements interdépendants, la probabilité de A et B est donnée par :
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)
- La probabilité conditionnelle est définie par :
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
- Pour les tirages sans remise, les événements affectent le total de résultats possibles.
Indications pour Résoudre l'Exercice
- Identifiez le total de résultats possibles au départ.
- Calculez la probabilité de chaque événement d'intérêt.
- Utilisez la formule des événements dépendants pour les combinaisons.
- Toujours considérer les cartes retirées dans les calculs sans remise.
Solutions Détaillées des Questions
1. Probabilité de tirer un As, puis un Roi sans remise
La probabilité de tirer un As en premier est
P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
. Après avoir tiré un As, il reste 51 cartes et 4 Rois. Donc la probabilité de tirer un Roi après un As estP(B|A) = \frac{4}{51}
. Donc,P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663}.
2. Probabilité de tirer un As, puis un As sans remise
La probabilité de tirer le premier As reste \frac{4}{52}. Pour le deuxième As, il reste 3 As dans les 51 cartes restantes, donc P(B|A) = \frac{3}{51}.
P(A \cap B) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}.
3. Probabilité que les deux cartes soient des cœurs
Première carte : P(A) = \frac{13}{52}. Pour la deuxième carte, après avoir tiré un cœur, il reste 12 cœurs dans 51 cartes. Donc, P(B|A) = \frac{12}{51}.
P(A \cap B) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} = \frac{156}{2652} = \frac{1}{17}.
4. Probabilité de tirer un cœur puis une carte rouge sans remise
P(A) pour le cœur = \frac{13}{52}. Après avoir tiré un cœur, il reste 25 cartes rouges dans les 51 restantes. Donc, P(B|A) = \frac{25}{51}.
P(A \cap B) = \frac{13}{52} \times \frac{25}{51} = \frac{325}{2652} = \frac{25}{204}.
Points Clés à Retenir
- La probabilité d'événements interdépendants se calcule en tenant compte des résultats précédents.
- Les probabilités conditionnelles sont essentielles pour ces calculs.
- Il est crucial d'ajuster le nombre total d'issues possibles après chaque événement.
- Les tirages avec remise et sans remise ont des implications différentes sur les résultats.
- Les événements peuvent souvent être représentés par des diagrammes de décision.
- Connaître la composition du jeu peut aider à des calculs rapides.
- Les erreurs de calcul proviennent souvent de valeurs mal comprises dans les événements dépendants.
- Une bonne visualisation des événements aide à mieux saisir les relations entre eux.
- Pratiquez avec différents scénarios pour renforcer votre compréhension.
- Révisez souvent les concepts de base pour ne pas les oublier.
Définitions des Termes Utilisés
- Événements Dépendants : Événements pour lesquels la réalisation d'un événement influence la probabilité de réaliser l'autre.
- Probabilité Conditionnelle : Probabilité qu'un événement se produise, étant donné qu'un autre événement s'est déjà produit.
- Cartes Rouges : Les cartes de cœur et de carreau dans un jeu traditionnel de cartes.
- Tirage Sans Remise : Tirage où une carte est retirée et n'est pas remise dans le jeu avant le prochain tirage.
- Tirage Avec Remise : Tirage où la carte tirée est remise dans le jeu, maintenant la même probabilité de tirages successifs.
