Problèmes intermédiaires d'axiomes de probabilité résolus
Explorez des problèmes résolus de niveau intermédiaire sur les axiomes de probabilité pour améliorer votre compréhension des concepts clés.
Résolution de Problèmes Intermédiaires d'Axiomes de Probabilité
Considérons un jeu de dés où nous lançons deux dés. Nous allons explorer différentes questions basées sur les axiomes de probabilité. Répondez aux questions suivantes :- Question 1 : Quelle est la probabilité d'obtenir un total de 7 ?
- Question 2 : Quelle est la probabilité d'obtenir un total pair ?
- Question 3 : Quelle est la probabilité d'obtenir un double (les deux dés montrant le même chiffre) ?
- Question 4 : Quelle est la probabilité d'obtenir un total de 2 ou 12 ?
- Question 5 : Si le premier dé est un 3, quelle est la probabilité que le total soit 7 ?
- Question 6 : Calculez la probabilité que les deux dés montrent des valeurs supérieures à 4.
- Question 7 : Quelle est la probabilité d'obtenir un 1 sur au moins un des dés ?
- Question 8 : Quelle est la probabilité que la somme des valeurs soit supérieure à 8 ?
Règles Fondamentales des Probabilités
- Règle 1 : La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1.
- Règle 2 : La somme des probabilités de tous les événements possibles est de 1.
- Règle 3 : La probabilité d'un événement complémentaire est : \( P(A') = 1 - P(A) \).
- Règle 4 : Pour des événements indépendants \( A \) et \( B \), \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \).
- Règle 5 : Pour des événements compatibles \( A \) et \( B \), \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).
Indications pour Résoudre les Problèmes de Probabilité
- Indication 1 : Identifiez tous les résultats possibles d'un événement.
- Indication 2 : Utilisez les règles de probabilité pour dériver les valeurs requises.
- Indication 3 : Faites un diagramme pour visualiser les options si nécessaire.
- Indication 4 : Utilisez des combinaisons et permutations si pertinent.
graph TD;
A[Dés] --> B{Total};
B -->|7| C[Achieved]
B -->|Pair| D[Achieved]
B -->|Double| E[Not Achieved]
Solutions Détailées des Questions
Question 1 : Quelle est la probabilité d'obtenir un total de 7 ?
Le total de 7 peut être obtenu avec les combinaisons (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Cela fait 6 combinaisons sur un total de 36 possibles (6x6).Donc, \( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).
Question 2 : Quelle est la probabilité d'obtenir un total pair ?
Les totaux pairs possibles sont 2, 4, 6, 8, 10, 12. Les combinaisons qui donnent ces résultats totalisent 18.\( P = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \).
Question 3 : Quelle est la probabilité d'obtenir un double ?
Les doubles sont (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) soit 6 combinaisons.\( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).
Question 4 : Quelle est la probabilité d'obtenir un total de 2 ou 12 ?
Les combinaisons pour 2 (1,1) et pour 12 (6,6). Donc, il y a 2 combinaisons.\( P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \).
Question 5 : Si le premier dé est un 3, quelle est la probabilité que le total soit 7 ?
Si le premier dé est 3, le second doit être 4, qui est une seule façon d'y parvenir.\( P = \frac{1}{6} \).
Question 6 : Calculez la probabilité que les deux dés montrent des valeurs supérieures à 4.
Les valeurs possibles sont seulement 5 et 6, ce qui donne 4 combinaisons.\( P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \).
Question 7 : Quelle est la probabilité d'obtenir un 1 sur au moins un des dés ?
On peut utiliser la probabilité complémentaire. La probabilité de ne pas avoir de 1 est \( \frac{5}{6} \) soit \( P(A') = \frac{5}{6}^2 = \frac{25}{36} \).Donc, \( P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \).
Question 8 : Quelle est la probabilité que la somme des valeurs soit supérieure à 8 ?
En analysant toutes les combinaisons, il y a 10 combinaisons où le total est supérieur à 8 (9,10,11,12).\( P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \).
Points Clés à Retenir
- Une probabilité est un nombre entre 0 et 1.
- Le nombre de résultats possibles est essentiel pour le calcul.
- Les événements réciproques peuvent simplifier les calculs.
- Les combinaisons et permutations sont utiles dans certains cas.
- Visualiser les événements à l'aide de diagrammes peut aider à la compréhension.
Définitions des Termes Utilisés
- Événement : Un résultat ou un ensemble de résultats d'une expérience.
- Probabilité : La mesure de la plausibilité qu'un événement se produise.
- Événement complémentaire : L'événement qui ne se produit pas lorsque l'événement principal se produit.
- Événement indépendant : Deux événements dont la probabilité de se produire est indépendante l'un de l'autre.
- Combinaison : Un choix d'éléments dans un certain ordre.
- Permutations : Un arrangement d'éléments en ordre particulier.