Exercices pratiques sur les axiomes de probabilité corrigés

Solutions détaillées des exercices

Question 1:

Soit un sac contenant 3 billes rouges et 2 billes vertes. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ?

La probabilité de tirer une bille rouge, \( P(R) \), est calculée par : \[ P(R) = \frac{\ ext{Nombre de billes rouges}}{\ ext{Nombre total de billes}} = \frac{3}{5} \]

Question 2:

Quelle est la probabilité de tirer une bille qui n'est pas rouge ?

Soit \( P(NR) \) la probabilité de tirer une bille non rouge : \[ P(NR) = 1 - P(R) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \]

Question 3:

Si on tire deux billes successivement avec remise, quelle est la probabilité de tirer deux billes rouges ?

Puisque les tirages sont indépendants : \[ P(RR) = P(R) \times P(R) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]

Question 4:

Si on tire deux billes successivement sans remise, quelle est la probabilité de tirer deux billes rouges ?

La probabilité devient : \[ P(RR) = P(R) \times P(R \,|\, R) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \]

Question 5:

Quelles sont les probabilités de réussir au moins un test si les probabilités de réussir chaque test sont respectivement de 0.8 et 0.6 ?

Calculons d'abord la probabilité d’échouer à chaque test : \[ P(E_1) = 1 - 0.8 = 0.2 \] \[ P(E_2) = 1 - 0.6 = 0.4 \] Maintenant, la probabilité d’échouer aux deux tests est : \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2) = 0.2 \times 0.4 = 0.08 \] Donc la probabilité de réussir au moins un test est : \[ P(A) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - 0.08 = 0.92 \]

Question 6:

Un dé est lancé. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

Les nombres pairs sur un dé sont 2, 4, et 6. Donc : \[ P(P) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Question 7:

On a deux pièces. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une face en lançant les deux pièces ?

En calculant les cas (HH, HT, TH, TT), nous avons 3 cas favorables : \[ P(\ ext{au moins une face}) = 1 - P(\ ext{les deux sont des piles}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]