Introduction aux probabilité Exercices corrigés simples
Découvrez des exercices simples sur les notions de probabilité avec des corrigés détaillés pour renforcer vos compétences en mathématiques.
Exercices d'Introduction aux Probabilités
Dans cet exercice, nous allons explorer les notions de base des probabilités à travers une série de questions pratiques. Voici les questions que nous allons aborder :- 1. Quelle est la probabilité de tirer une carte rouge d'un jeu de cartes ?
- 2. Si un dé est lancé, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 ?
- 3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 faces en lançant une pièce de monnaie 3 fois ?
- 4. Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
- 5. Si un étudiant passe un examen avec une probabilité de 0.75, quelle est la probabilité qu'il échoue ?
- 6. Un sac contient 5 billes rouges et 3 vertes. Quel est le pourcentage de billes rouges ?
- 7. En lançant deux dés, quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 7 ?
Règles et Formules de Probabilité
- La probabilité \( P \) d'un événement est définie par \( P(A) = \frac{\ ext{nombre d'issues favorables}}{\ ext{nombre total d'issues}} \).
- Les probabilités sont toujours comprises entre 0 et 1.
- La somme des probabilités de tous les événements d'un espace d'échantillonnage est 1.
- La probabilité de l'événement complémentaire \( A^c \) est \( P(A^c) = 1 - P(A) \).
Indications pour résoudre les exercices
- Identifiez d'abord l'événement dont vous souhaitez calculer la probabilité.
- Calculez le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues possibles.
- Appliquez la formule de probabilité appropriée.
- Vérifiez que votre résultat est compris entre 0 et 1.
Solutions Détailées des Exercices
1. Quelle est la probabilité de tirer une carte rouge d'un jeu de cartes ?
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 26 cartes rouges (coeurs et carreaux). La probabilité est :
\[ P(\ ext{rouge}) = \frac{26}{52} = 0.5 \]
2. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 en lançant un dé?
Les résultats favorables sont 5 et 6, soit 2 résultats sur 6.
\[ P(\ ext{> 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \]
3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 faces en lançant une pièce 3 fois?
Utilisons la formule de la loi binomiale :
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \]
Où \( n = 3 \), \( k = 2 \), \( p = \frac{1}{2} \):
\[ P(X = 2) = {3 \choose 2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \]
4. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
Il y a 2 boules bleues sur un total de 5 boules.
\[ P(\ ext{bleue}) = \frac{2}{5} = 0.4 \]
5. Quelle est la probabilité qu'un étudiant échoue ?
La probabilité de succès est \( 0.75 \); donc :
\[ P(\ ext{échec}) = 1 - P(\ ext{succès}) = 1 - 0.75 = 0.25 \]
6. Quel est le pourcentage de billes rouges ?
Il y a 5 billes rouges sur 8 en total :
\[ \ ext{Pourcentage} = \left(\frac{5}{8}\right) \times 100 = 62.5\% \]
7. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 7 ?
Les combinaisons possibles pour obtenir 7 sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), soit 6 cas favorables sur 36 possibles :
\[ P(\ ext{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1666 \]
Points Clés à Retenir
- La probabilité est un nombre allant de 0 à 1.
- Un événement impossible a une probabilité de 0.
- Un événement certain a une probabilité de 1.
- Utilisez toujours des mathématiques simples pour les calculs.
- Les événements indépendants n'affectent pas les résultats.
- La loi binomiale est utile pour des essais répétitifs.
- Les pourcentages aident à mieux comprendre les probabilités.
- Les événements complémentaires simplifient souvent les calculs.
- Pratiquer avec des exemples concrets améliore la compréhension.
- Les graphiques peuvent illustrer des concepts de probabilité efficacement.
Définitions Clés
- Probabilité: Une mesure de la chance que quelque chose se produise.
- Événement: Un résultat ou un ensemble de résultats d'une expérience aléatoire.
- Échantillon: Un sous-ensemble d'une population utilisé pour une étude statistique.
- Issue: Un résultat d'un processus aléatoire.
- Loi binomiale: Un modèle pour la probabilité de k succès sur n essais.
