Comprendre les événements Exercices corrigés avancés
Explorez des exercices avancés sur les événements en probabilité avec des corrigés clairs pour améliorer votre compréhension.
Comprendre les événements en probabilités: Exercices corrigés avancés
Dans cet exercice, nous allons étudier la notion d'événements en probabilités. Nous allons examiner un dé à six faces et un tirage de cartes dans un jeu de 52 cartes. Répondez aux questions suivantes:- Question 1: Quelle est la probabilité de lancer un dé et d'obtenir un nombre pair?
- Question 2: Quelle est la probabilité de tirer un as d'un jeu de cartes?
- Question 3: Si un dé est lancé deux fois, quelle est la probabilité d'obtenir un 4 au moins une fois?
- Question 4: Si deux cartes sont tirées d'un jeu de 52 cartes sans remise, quelle est la probabilité d'obtenir deux cœurs?
- Question 5: Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre premier en lançant un dé à six faces?
- Question 6: Si A et B sont deux événements indépendants, quelle est la probabilité de l'événement A ou B?
Règles et méthodes de calcul des probabilités
- La probabilité d'un événement A est définie comme P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
- Pour un dé à six faces, les résultats possibles sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Un nombre pair dans un dé à six faces est {2, 4, 6}.
- Un tirage est sans remise lorsque les événements ne sont pas substitués.
- Deux événements A et B sont indépendants si P(A et B) = P(A) * P(B).
- La formule de la probabilité d'au moins un événement est P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Indications pour résoudre les exercices
- Listes les événements et leurs résultats possibles.
- Calculez le nombre total d’issues possibles pour chaque situation.
- Identifiez les cases favorables pour chaque événement.
- Utilisez des diagrammes pour visualiser les événements et l'intersection.
- Vérifiez l'indépendance des événements avant de multiplier les probabilités.
Solutions détaillées des questions
Question 1
Pour un dé à six faces, les nombres pairs sont {2, 4, 6}. Il y a 3 résultats favorables et 6 résultats possibles.
La probabilité est: $$P(\ ext{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
Question 2
Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes.
La probabilité est: $$P(\ ext{as}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$
Question 3
La probabilité de ne pas obtenir un 4 à chaque lancer est de $\frac{5}{6}$.
La probabilité de ne pas obtenir un 4 lors de 2 lancers est: $$P(\ ext{ne pas obtenir 4}) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$$
Alors, la probabilité d'obtenir au moins un 4 est: $$P(\ ext{au moins un 4}) = 1 - P(\ ext{ne pas obtenir 4}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$
Question 4
Il y a 13 cœurs, donc la probabilité de tirer la première carte comme un cœur est $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$. Après avoir tiré une carte, il reste 12 cœurs sur 51 cartes.
La probabilité est donc: $$P(\ ext{2 cœurs}) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} = \frac{1}{4} \times \frac{12}{51} = \frac{12}{204} = \frac{1}{17}$$
Question 5
Les nombres premiers dans un dé à six faces sont {2, 3, 5}. Donc, il y a 3 résultats favorables.
La probabilité est: $$P(\ ext{premier}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
Question 6
Si A et B sont deux événements indépendants, la probabilité de A ou B est: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ où $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
Points clés à retenir
- La probabilité d'un événement A est toujours comprise entre 0 et 1.
- Un événement est certain si P(A) = 1.
- Un événement est impossible si P(A) = 0.
- Les événements indépendants ne s'influent pas mutuellement.
- Utiliser des diagrammes ou des tables pour aider à visualiser les événements.
- La probabilité totale d'événements disjoints est la somme des probabilités.
- En jeux de cartes, considérer les effets de remise ou non.
- La loi de multiplication s'applique uniquement aux événements indépendants.
- Utilisez les formules cumulatives pour plusieurs événements.
- Opérez méthodiquement pour éviter les erreurs dans les calculs.
Définitions importantes dans les probabilités
- Événement: Résultat possible d'une expérience aléatoire.
- Événement certain: Événement qui se produit toujours.
- Événement impossible: Événement qui ne se produit jamais.
- Indépendance: Deux événements qui n'ont pas d'influence les uns sur les autres.
- Probabilité conditionnelle: Probabilité d'un événement donné que certains autres événements se soient produits.