Les combinaisons en probabilités Exercices corrigés complets
Apprenez à utiliser les combinaisons en probabilités avec des exercices complets et corrigés pour renforcer vos talents en mathématiques.
Exercices de Probabilités sur les Combinaisons
Dans cet exercice, nous allons explorer les combinaisons en probabilités à travers une série de questions. Les élèves doivent utiliser leurs connaissances sur les combinaisons pour résoudre les problèmes suivants :- Question 1: Combien de façons peut-on choisir 3 livres parmi 8 ?
- Question 2: Dans un groupe de 5 amis, combien de façons peut-on en sélectionner 2 pour aller au cinéma ?
- Question 3: Si une boîte contient 10 billes de couleurs différentes, combien de façons peut-on en choisir 4 ?
- Question 4: Quelle est la probabilité de tirer 2 cartes rouges sur 5 cartes choisies au hasard dans un paquet de 52 cartes ?
Règles et Formules des Combinaisons
- Formule de combinaison : \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Où \( n \) est le nombre total d'objets et \( k \) est le nombre d'objets à choisir.
- Une combinaison est un choix d'objets où l'ordre ne compte pas.
Indications pour Résoudre les Exercices
- Identifiez le nombre total d'objets (n) et le nombre d'objets à choisir (k).
- Appliquez la formule des combinaisons pour déterminer le nombre de façons de choisir.
- Pour la question de probabilité, calculez d'abord le nombre de combinaisons favorables.
- Utilisez la formule de probabilité : \( P(E) = \frac{N(E)}{N(T)} \), où \( N(E) \) est le nombre d'événements favorables et \( N(T) \) est le nombre total d'événements.
Corrections Détailées des Exercices
Question 1:
Pour choisir 3 livres parmi 8, nous appliquons la formule :
\( C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \)
Question 2:
Pour choisir 2 amis parmi 5 :
\( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
Question 3:
Pour choisir 4 billes parmi 10 :
\( C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \)
Question 4:
Pour tirer 2 cartes rouges dans un jeu de 52 cartes contenant 26 rouges :
D'abord, le nombre de façons de choisir 2 cartes rouges : \( C(26, 2) = \frac{26!}{2!(26-2)!} = 325 \)
Ensuite, le nombre total de façons de choisir 5 cartes : \( C(52, 5) = 2,598,960 \)
La probabilité est alors : \( P = \frac{C(26, 2) \times C(26, 3)}{C(52, 5)} = \frac{325 \times 2,300}{2,598,960} \approx 0.239 \)
Points Clés à Retenir sur les Combinaisons
- Les combinaisons ne dépendent pas de l'ordre.
- La formule des combinaisons est essentielle en probabilité.
- Les combinaisons se notent \( C(n, k) \) ou \( \binom{n}{k} \).
- Les probabilités se calculent à partir d'événements favorables.
- Comprendre la différence entre combinaisons et arrangements.
- Les combinaisons sont utiles pour les tirages aléatoires.
- Expliquer les combinaisons avec des exemples pratiques.
- Visualisez les combinaisons à l'aide de diagrammes.
- La répétition d'objets affecte le calcul des combinaisons.
- Pratiquer avec divers exemples renforce la compréhension.
Définitions des Termes Utilisés
- Combinaison: Une sélection d'objets sans tenir compte de l'ordre.
- Événement: Un subconjunto d'événements dans un espace d'échantillonnage.
- Probabilité: Une mesure de la chance qu'un événement se produise.
- Échantillon: Un sous-ensemble d'une population d'intérêt.
- Tirage: Sélection d'éléments d'un ensemble donné.
