Techniques avancées pour résoudre des problèmes de proportions
Améliorez votre capacité à résoudre des problèmes de proportions grâce à des exercices corrigés qui explorent des techniques avancées adaptées aux collégiens et lycéens.
Techniques Avancées pour Résoudre des Problèmes de Proportions
Voici un exercice complet sur les proportions avec des questions variées. Chaque question est suivie d'une solution détaillée.Règles et Formules Relatives aux Proportions
- La proportion est une équation qui montre que deux rapports sont égaux.
- Si \(a\), \(b\), \(c\), et \(d\) sont des nombres, alors \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) est une proportion.
- Le produit en croix : pour résoudre \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), on peut écrire \( a \cdot d = b \cdot c \).
- Pourcentage : \(P\%\) d'un nombre \(N\) est donné par \( \frac{P}{100} \cdot N \).
Indications pour Résoudre des Problèmes de Proportions
- Identifiez les termes de la proportion et notez-les.
- Utilisez le produit en croix pour établir une équation.
- Résolvez l'équation pour trouver la variable manquante.
- Vérifiez toujours si votre réponse respecte les conditions initiales du problème.
Correction des Questions
Question 1
Si \( \frac{x}{12} = \frac{3}{4} \), quel est \(x\)?Utilisons le produit en croix :
Donc, \( 4x = 12 \cdot 3 \).
Donc, \( 4x = 36 \) => \( x = \frac{36}{4} = 9 \).
Question 2
Un robinet remplit un réservoir en 6 heures. Un autre robinet remplit le même réservoir en 9 heures. Combien de temps faut-il pour remplir le réservoir en utilisant les deux robinets ensemble?La proportion des temps est donnée par :
Pour le premier robinet : \( \frac{1}{6} \) par heure. Pour le deuxième : \( \frac{1}{9} \) par heure.
Donc, \( R = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \).
En utilisant le produit en croix, nous avons \( R = \frac{3 + 2}{18} = \frac{5}{18} \).
Donc, le temps pour remplir ensemble est donné par \( \frac{1}{R} = \frac{18}{5} \, heures \, \approx \, 3.6 \, heures \).
Question 3
Si 70% des étudiants réussissent un examen et que 140 étudiants ont réussi, combien d'étudiants ont composé l'examen?Nous savons que 70% correspond à 140. Si x est le nombre total d'étudiants :
Donc, \( \frac{70}{100} \cdot x = 140 \) => \( x = 140 \cdot \frac{100}{70} = 200 \).
Question 4
Un magasin applique une remise de 15% sur un article qui coûte 80€. Quel est le prix après remise?La remise est calculée par :
Remise = \( \frac{15}{100} \cdot 80 = 12€ \).
Le prix final est \( 80 - 12 = 68€ \).
Question 5
Si un mélange de 3 litres d'eau et 1 litre de jus donne une concentration de 25% de jus, quel volume d'eau serait nécessaire pour obtenir 10% de jus dans un mélange de 5 litres?Pour obtenir 10% de jus dans 5L, nous savons que:
Concentration = \( \frac{1}{5} \cdot 100 = 20% \), ce qui est trop élevé.
Essayez avec différents volumes jusqu'à obtenir la concentration voulue.
Points Clés à Retenir sur les Proportions
- Une proportion établit l'égalité de deux rapports.
- Le produit en croix est un outil puissant pour résoudre des proportions.
- Les pourcentages sont des expressions de proportions sur 100.
- Les remises et augmentations sont des applications courantes des proportions.
- La vérification d'une solution est essentielle.
- La règle de trois est souvent utilisée pour résoudre les problèmes de proportions.
- Les comparaisons directes peuvent simplifier les problèmes complexes.
- Comprendre le contexte d'un problème est crucial.
- Maîtriser les fractions facilite le travail avec les proportions.
- Pratiquer différentes applications renforcera votre compréhension.
Définitions des Termes Utilisés
- Proportion: Une relation d'égalité entre deux rapports.
- Pourcentage: Une façon d'exprimer un rapport par rapport à 100.
- Produit en croix: Une méthode de résolution d'équations proportionnelles.
- Concentration: Mesure de la quantité d'une substance dans un mélange.
- Remise: Réduction sur le prix initial d'un produit.
- Augmentation: Ajout à un montant initial, souvent exprimé en pourcentage.