Maîtrisez les Proportions Inverses Exercices Complètes Corrigés

Maîtrisez les proportions inverses grâce à nos exercices corrigés complets. Une manière optimale d'étudier et de préparer vos examens de mathématiques.

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Maîtrisez les Proportions Inverses - Exercices Complètes Corrigés

Les proportions inverses sont essentielles en mathématiques. Dans cet exercice, nous examinerons différentes applications de ce concept. Répondez aux questions suivantes :

Question 1 : Si $x$ varie de 1 à 5, quelle sera la valeur de $y$, sachant que $y$ est inversement proportionnel à $x$ et que $y = 10$ quand $x = 1$ ?
Question 2 : Trouvez les valeurs de $x$ et $y$ sachant que $xy = 30$. Que se passe-t-il si $x$ double ?
Question 3 : Un produit coûte 50€ pour 2 unités. Quel sera le coût pour 10 unités ?
Question 4 : Représentez graphiquement la relation entre $x$ et $y$ en utilisant des points (x, y) pour $x = 1, 2, 3, 4, 5$ et calculez la pente de la courbe.

Règles des Proportions Inverses

Deux variables $x$ et $y$ sont inversement proportionnelles si $xy = k$ (une constante).
Si $x$ augmente, $y$ diminue et vice versa.
La relation est souvent représentée par une courbe hyperbolique.
Pour résoudre des problèmes impliquant des proportions inverse, isolez l'une des variables.

graph TD; A[Variables Inverses] -->|x augmente| B[y diminue]; A -->|x diminue| C[y augmente]; B --> D[Relation: xy=k];

Indications pour Résoudre des Problèmes

Identifiez les variables : comment elles varient ensemble.
Déterminez la constante $k$ à partir d'un exemple fourni.
Utilisez les équations pour établir des relations supplémentaires.
Représentez visuellement les données pour une meilleure compréhension.

Corrigé des Questions

Question 1

Nous savons que $y = \frac{k}{x}$. Si $y = 10$ quand $x = 1$, alors :

Calculons $k$: $k = xy = 10 \times 1 = 10$.

Ainsi, la relation devient $y = \frac{10}{x}$.

Pour $x = 1 \Rightarrow y = 10$ ; $x = 2 \Rightarrow y = 5$ ; $x = 3 \Rightarrow y \approx 3.33$ ; $x = 4 \Rightarrow y = 2.5$ ; $x = 5 \Rightarrow y = 2$.

graph TD; E[y=10/x]; F[x=1 y=10]; F --> G[x=2 y=5]; G --> H[x=3 y=3.33]; H --> I[x=4 y=2.5]; I --> J[x=5 y=2];

Question 2

On a $xy = 30$. Si $x = 2$, alors :

$y = \frac{30}{x} = \frac{30}{2} = 15$.

Si $x$ double (donc $x = 4$), alors :

$y = \frac{30}{4} = 7.5$.

Question 3

Le coût par unité est $50/2 = 25€$. Donc, pour 10 unités : $10 * 25 = 250€$.

Question 4

Pour le graphe, nous avons calculé les points suivants :

Pour $x=1, y=10$
Pour $x=2, y=5$
Pour $x=3, y \approx 3.33$
Pour $x=4, y=2.5$
Pour $x=5, y=2$

Le graphe représente une courbe hyperbolique, illustrant la relation inverse.

Points Clés à Retenir

Les proportions inverses impliquent une relation multiplicative.
La courbe hyperbolique représente des relations inverses.
La constante $k$ est essentielle pour établir la relation.
Une augmentation d'une variable diminue l'autre.
Visualiser les données aide à la compréhension.
Utiliser des exemples concrets facilite l'apprentissage.
Les proportions inverses sont fréquentes dans la vie quotidienne.
Les équations peuvent aider à résoudre rapidement des problèmes.
La pratique est essentielle pour maîtriser les concepts.
Ne pas hésiter à refaire des exercices pour se perfectionner.

Définitions Importantes

Proportions Inverses : Relations où le produit de deux variables est constant.
Constante ($k$) : Valeur fixe déterminée par des conditions initiales.
Hyperbole : Courbe représentant des proportions inverses dans un graphique.
Variable : Quantité pouvant changer dans un problème mathématique.
Graphique : Représentation visuelle démontrant une relation entre des variables.

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