Exercices intermédiaires applications des proportions géométriques
Explorez des exercices intermédiaires pour appliquer les proportions en géométrie. Des corrigés détaillés pour faciliter votre apprentissage.
Exercices sur les Proportions Géométriques en Mathématiques
Dans cet exercice, nous allons explorer l'application des proportions géométriques au moyen de six questions stimulant notre compréhension des rapports dans différentes figures géométriques.Règles et Formules pour les Proportions Géométriques
- La proportion est une équation qui établit l'égalité de deux rapports.
- Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\), alors si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), on dit que \(a\), \(b\), \(c\), et \(d\) sont en proportion.
- Dans un triangle semblable, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles.
- Pour deux figures semblables, le rapport des périmètres est égal au rapport de leurs côtés correspondants.
- Le rapport des aires de deux figures semblables est égal au carré du rapport de leurs côtés correspondants.
Indications pour Résoudre les Exercices
- Identifiez les figures et les informations données.
- Établissez les rapports de proportion entre les éléments connus.
- Appliquez les raisons de similitude ou de proportionnalité quand cela est possible.
- Utilisez des échelles appropriées pour des représentations graphiques.
Corrections Détailées des Questions
Question 1
Un triangle \(ABC\) est semblable à un triangle \(DEF\) tel que \(AB = 6\) cm, \(AC = 8\) cm, et \(DE = 12\) cm. Calculez la longueur de \(DF\).
Soit \(k\) le rapport de similitude: \[k = \frac{DE}{AB} = \frac{12}{6} = 2\]Pour trouver \(DF\), on sait que:\[DF = k \times AC = 2 \times 8 = 16 \, \text{cm}\]
Question 2
Si les aires des triangles \(ABC\) et \(DEF\) sont respectivement \(A_1 = 24 \, \text{cm}^2\) et \(A_2 = 96 \, \text{cm}^2\), quel est le rapport des longueurs correspondantes?
On utilise la formule :\[\frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{AB}{DE} \right)^2\]Calculons:\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{24}{96} = \frac{1}{4}\]Le rapport des longueurs est :\[\frac{AB}{DE} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]
Question 3
Un rectangle de dimensions \(4\) cm et \(6\) cm est agrandi pour donner un rectangle plus grand. Si la largeur du grand rectangle devient \(12\) cm, quelle est sa nouvelle longueur?
Le rapport d'agrandissement est:\[k = \frac{12}{4} = 3\]La nouvelle longueur est:\[\text{Longueur} = k \times 6 = 3 \times 6 = 18 \, \text{cm}\]
Question 4
Si deux cercles ont des rayons \(r_1 = 5\) cm et \(r_2\). Si les aires des cercles sont proportionnelles avec un rapport de \(1:9\), calculez \(r_2\).
On utilise la relation des aires:\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \Longrightarrow \frac{1}{9} = \frac{5^2}{r_2^2}\]En résolvant:\[r_2^2 = 9 \times 25 = 225 \Longrightarrow r_2 = 15 \, \text{cm}\]
Question 5
Une figure trapézoïdale a une base de \(10\) cm et une hauteur de \(6\) cm. Si cette figure est réduite de \(\frac{1}{2}\), quelle sera la hauteur du trapèze réduit?
La nouvelle hauteur sera:\[\text{Hauteur} = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, \text{cm}\]
Question 6
Considérons un cube dont l'arête mesure \(4\) cm. Si le cube est agrandi jusqu'à ce que l'arête soit de \(8\) cm, quelle sera l'augmentation du volume?
Volume initial:\[V_1 = 4^3 = 64 \, \text{cm}^3\]Volume agrandi:\[V_2 = 8^3 = 512 \, \text{cm}^3\]L'augmentation du volume est:\[\Delta V = V_2 - V_1 = 512 - 64 = 448 \, \text{cm}^3\]
Points Clés à Retenir sur les Proportions Géométriques
- Les relations de proportionnalité sont fondamentales en géométrie.
- Les triangles semblables ont des côtés correspondants en proportion.
- Les aires sont proportionnelles au carré des longueurs correspondantes.
- Les cercles ont des aires proportionnelles au carré de leur rayon.
- Les longueurs des côtés sont directement liées aux rapports de similarité.
- L’agrandissement et la réduction de figures maintiennent les proportions.
- Les trapèzes et autres formes peuvent également être réduits en conservant les proportions.
- L’utilisation du rapport est essentielle pour établir des relations entre les figures géométriques.
- Comprendre les proportions aide à résoudre des problèmes complexes en géométrie.
- Les transformations géométriques sont souvent appliquées aux proportions.
Définitions Importantes
- Proportion: Égalité entre deux rapports, indiquant une relation consistante.
- Triangle Semblable: Triangles ayant des angles correspondants égaux et des côtés proportionnels.
- Rapport: Comparaison entre deux grandeurs, exprimé comme une fraction.
- Aire d’un Cercle: \(A = \pi r^2\), où \(r\) est le rayon.
- Volume d’un Cube: \(V = a^3\), où \(a\) est la longueur de l'arête.