Exercices avancés sur les proportions en figures géométriques
Maîtrisez les proportions à travers des exercices avancés sur les figures géométriques. Des solutions pour guider votre réflexion et compréhension.
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Exercices avancés sur les proportions en figures géométriques
Dans cet exercice, nous allons explorer l'utilisation des proportions dans diverses figures géométriques. L'importance des proportions est essentielle en géométrie, car elle nous aide à établir des relations entre les dimensions et les mesures. Questions:1. Dans un triangle ABC, si le segment AD est la médiane allant de A au milieu du segment BC et que BC = 10 cm, quelle est la longueur de AD si la hauteur issue de A mesure 6 cm ? 2. Dans un rectangle de dimensions 8 cm x 4 cm, on souhaite le réduire de 50% tout en gardant les proportions. Quelles seront les nouvelles dimensions ?3. Un cerf-volant a une diagonale de 12 cm et l'autre de 16 cm. Quel est le rapport entre les longueurs des diagonales ? 4. Dans un trapèze, les bases mesurent respectivement 5 cm et 7 cm, et la hauteur mesure 4 cm. Quelle est la proportion entre l'aire du trapèze et celle d'un rectangle ayant les mêmes dimensions de base et de hauteur ?Règles et Formules à retenir
- Proportions: On peut exprimer des longueurs ou surfaces en utilisant des rapports.
- Aire d'un triangle: \(A = \frac{1}{2} \times base \times hauteur\)
- Aire d'un rectangle: \(A = longueur \times largeur\)
- Aire d'un trapèze: \(A = \frac{(base_1 + base_2) \times hauteur}{2}\)
- Longueurs: Si deux figures sont semblables, le rapport de leurs longueurs est constant.
Indications pour Résoudre les Exemples
- Pour les triangles, identifiez les sections sur lesquelles vous pouvez utiliser la médiane et la hauteur.
- Lorsque vous réduisez des dimensions, veillez à baser les nouvelles dimensions sur un coefficient de réduction.
- Déterminez le rapport en traitant les longueurs comme des fractions.
- Utilisez les formules d'aire pour les figures nécessitant des comparaisons.
Corrigés des Questions
1. Pour la médiane AD, par le théorème de la médiane: - On sait que dans un triangle, \[AD = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}}\] - Avec \(AB = 6 cm\) et \(BC = 10 cm\), calculons \(AD\): \[AD = \sqrt{\frac{2 \times 6^2 + 2 \times 6^2 - 10^2}{4}} = \sqrt{\frac{72 - 100}{4}} = 3.4 cm \text{ (approximativement)}\].2. Les nouvelles dimensions du rectangle sont: \[Nouveau\ Longueur = 8 cm \times 0.5 = 4 cm\] \[Nouveau\ Largeur = 4 cm \times 0.5 = 2 cm\].3. Le rapport entre les diagonales est: \[\frac{12}{16} = \frac{3}{4}\].4. L'aire du trapèze est: \[A = \frac{(5 + 7) \times 4}{2} = 24 cm²\] La surface du rectangle est: \[A_{rectangle} = 5 \times 4 = 20 cm²\] Proportion: \[\frac{A_{trapèze}}{A_{rectangle}} = \frac{24}{20} = 1.2\].Points Clés à Retenir
- Les proportions sont essentielles pour établir des rapports entre différentes mesures.
- Les propriétés géométriques se basent souvent sur les relations proportionnelles.
- La réduction des dimensions doit toujours respecter les proportions.
- Utiliser correctement les formules d'aires pour effectuer des comparaisons.
- Le rapport entre les dimensions peut aider à comprendre les caractéristiques de la figure.
- Les diagonales en cerf-volant sont cruciales pour comprendre la formabilité de la figure.
- Les bases des trapèzes sont fondamentales pour le calcul de l'aire.
- Utilisez toujours des schémas pour visualiser les problèmes géométriques.
- Les médianes sont utiles pour simplifier le calcul des aires dans les triangles.
- Les figures semblables ont des propriétés de proportionnalité au niveau des dimensions.
Définitions et Termes Utilisés
- Proportions: Relatives à la comparaison de deux quantités.
- Médiane: Une ligne segmentée qui relie un sommet d'un triangle au milieu du côté opposé.
- Aire: Mesure de l'espace à l'intérieur d'une figure géométrique.
- Rectangle: Quadrilatère avec quatre angles droits.
- Trapèze: Quadrilatère avec au moins une paire de côtés parallèles.
- Diagonales: Segments de ligne reliant les sommets non adjacents d’un polygone.
- Cerf-volant: Quadrilatère avec deux paires de côtés adjacents de longueur égale.
- Échelle: Rapport entre les dimensions d’une figure et celles de sa représentation.
- Similitude: Propriété d'une figure géométrique d'être semblable à une autre.
- Ratio: Expression du rapport entre deux quantités.