Utilisation des proportions exercices corrigés complexes
Plongez dans des exercices corrigés complexes sur l'utilisation des proportions. Idéal pour les élèves souhaitant approfondir leurs connaissances en géométrie.
Exercices sur l'utilisation des proportions en géométrie
Dans cet exercice, nous allons explorer l'utilisation des proportions à travers diverses situations géométriques. Vous allez répondre aux questions suivantes :- Question 1 : Trouvez la hauteur d'un arbre à partir de son ombre.
- Question 2 : Utilisation des proportions pour découvrir la longueur d'un côté d'un triangle équilatéral.
- Question 3 : Trouvez la distance entre deux points en utilisant le rapport de proportions.
- Question 4 : Résolvez un problème d'échelle dans une maquette.
- Question 5 : Application des proportions dans la réduction d'un dessin.
- Question 6 : Utilisez des proportions pour déterminer les dimensions d'une figure.
- Question 7 : Déterminez les longueurs manquantes d'un triangle, sachant que deux rapports valent.
- Question 8 : Trouvez le volume d'un objet en utilisant les proportions de la figure à une maquette.
Règles et Formules à retenir
- Utilisez le rapport de la longueur d'une ombre à la hauteur d'un objet pour trouver une hauteur.
- Pour un triangle équilatéral, tous les côtés sont égaux, et les proportions peuvent être appliquées.
- La formule de la distance entre deux points en cartographie utilise les proportions.
- Les maquettes sont souvent à une échelle réduite, nécessitant des proportions.
- Pour réduire un dessin, vous appliquez un facteur de proportionnalité constant.
- Les proportions aident à ajuster les dimensions d'une figure tout en conservant les formes.
- Les triangles de types similaires ont des rapports de côtés égaux.
- Le volume d'une figure peut être proportionnel à sa longueur, largeur et hauteur.
Indications pour résoudre les problèmes
- Utilisez des diagrammes pour visualiser les proportions.
- Idéalement, commencez par établir une équation de proportion.
- Utilisez une règle pour tracer des rapports sur un graphique ou un dessin.
- Identifiez les triangles semblables pour utiliser les propriétés de similitude.
- Un tableau peut aider à organiser vos proportions.
- Considérez toujours l'échelle d'un dessin lors de réductions.
- Pour chaque question, calculez les valeurs connues en premier.
- Vérifiez vos solutions avec des calculs inversés.
Solutions détaillées à chaque question
Question 1 : Pour trouver la hauteur d'un arbre avec une ombre de \(4\) mètres et une personne de \(1.8\) mètres ayant une ombre de \(2\) mètres :On établit une proportion :\[\frac{H_{arbre}}{4} = \frac{1.8}{2}\]On résout : \[H_{arbre} = 4 \times \frac{1.8}{2} = 4.4 \text{ mètres}\]
Question 2 : Si un triangle équilatéral a une longueur de côté proportionnelle à \(3x\) et que chaque côté mesure \(6\) cm,Il s’agit d’un triangle équilatéral, donc :\[3x = 6 \Rightarrow x = 2 \text{ cm}\]
Question 3 : Si deux points sont séparés par un rapport proportionnel de \(3:2\), et la distance donnée est \(30\) mètres,On applique la proportion suivante:\[D_{a} + D_{b} = 30 \text{ m}\]\[D_{a} = \frac{3}{5} \times 30 = 18 \text{ mètres}, ~ D_{b} = \frac{2}{5} \times 30 = 12 \text{ mètres}\]
Question 4 : Une maquette a une échelle de \(1:100\) et la longueur réelle est \(200\) cm,La longueur à l'échelle est :\[\frac{200}{100} = 2 \text{ cm}\]
Question 5 : Pour réduire un dessin de \(120\) cm à \(30\) cm :Le facteur de réduction est :\[\text{Facteur} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}\]
Question 6 : Trouvez l'aire proportionnelle d’un rectangle avec \(4\) cm et \(6\) cm :L'aire est :\[A = 4 \times 6 = 24 \text{ cm}^2\]
Question 7 : Pour un triangle avec des côtés \(4\) cm et \(6\) cm :On utilise le rapport de proportionnalité, par exemple,\[\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{4}{6} \Rightarrow c = \sqrt{(4^2 + 6^2)} = 7.21 \text{ cm}\]
Question 8 : Pour un objet dont le volume est proportionnel à la longueur et largeur dans une maquette avec échelle :On dit \(V_{scale} = \text{Facteur}^3 \times V_{réel}\)\end{p>
Points clés à retenir
- Les proportions sont essentielles pour résoudre des problèmes d'échelle.
- Les angles et un rapport constant dans un triangle semblable sont préservés.
- Les unités doivent être cohérentes lorsqu’on compare des longueurs.
- Les maquettes utilisent souvent un rapport d'échelle pour la réduction des dimensions.
- Apprendre à établir rapidement des proportions aide à la vitesse en mathématiques.
- Le calcul des aires et volumes nécessite une compréhension des proportions.
- L’application de la règle de trois aide à simplifier les problèmes complexes.
- Les erreurs de proportion conduisent souvent à des résultats erronés.
- Modéliser des problèmes géométriques aide à visualiser les relations proportionnelles.
- Les calculs d'aire et de volume sont cruciaux en géométrie.
Définitions et descriptions des termes
- Proportions : Une égale relation entre deux quantités.
- Échelle : Le rapport de taille d'un modèle par rapport à un objet réel.
- Triangle équilatéral : Triangle avec trois côtés égaux.
- Ombre : Projection d'un objet empêchant la lumière de passer.
- Diagramme : Structure visuelle représentant un concept ou une équation.
- Angle semblable : Angles ayant la même mesure dans deux figures similaires.
- Longueur : Mesure d'un espace entre deux points en ligne droite.
- Aire : Mesure de la surface à l'intérieur d'une figure.
- Volume : Mesure d’espace occupé par un objet tridimensionnel.
- Tableau de proportions : Représentation visuelle des rapports entre diverses valeurs.