Exercices de proportions en géométrie défi expert corrigé
Relevez le défi avec ces exercices expert sur les proportions en géométrie. Solutions détaillées pour tester et améliorer vos compétences.
Exercices de Proportions en Géométrie pour Élèves de Lycée et Collège
Dans cet exercice, nous allons explorer les notions de proportions appliquées à des figures géométriques. Les questions suivantes mettront vos compétences en géométrie et en calcul à l'épreuve.Règles et Formules Essentielles Relatives aux Proportions
- Proportions: Si deux rapports sont égaux, les grandeurs sont proportionnelles, soit \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \).
- Théorème de Thalès: Si deux droites sont parallèles, alors les segments qu'elles déterminent sur deux autres droites sont proportionnels.
- Les aires similaires: Les rapports des aires de deux figures similaires est égal au carré du rapport de leurs dimensions correspondantes.
- Pourcentage: \( \frac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100 \). Utilisé pour comparer des portions.
Indications pour Résoudre les Problèmes de Proportions
- Identifier les proportions dans les problèmes.
- Utiliser des dessins pour visualiser les relations géométriques.
- Appliquer les règles de proportionnalité en établissant des équations.
- Vérifier les calculs avec des valeurs numériques simples.
Corrigés Détaillés des Questions
Question 1: Deux segments de longueur 4 cm et 6 cm sont proportionnels à un segment de longueur \(x\) cm. Déterminez \(x\).
Pour résoudre ce problème, on utilise la formule de proportionnalité:\[ \frac{4}{6} = \frac{x}{y} \]En croisant les produits, on obtient:\[4y = 6x \implies x = \frac{4}{6}y \implies x = \frac{2}{3}y\]Si \(y = 12\) cm, alors \(x = \frac{2}{3} \times 12 = 8\) cm.
Question 2: Dans un triangle, si les longueurs des côtés sont 5 cm et 10 cm et la base est proportionnelle aux côtés, quelle est la longueur de la base?\\Supposons que la base \( b \) est \( 15 cm \). On a donc:\[ \frac{5}{10} = \frac{15}{b} \]En croisant, nous avons:\[ 5b = 150 \implies b = 30 \text{ cm} \]
Question 3: On sait que l'aire d'un carré de 4 cm de côté est \(A_1 = 16 \text{ cm}^2\). Quel serait l'aire d'un carré dont le côté mesure 6 cm?\[ A_2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \]On observe que le rapport des aires est donné par:\[\text{Rapport des aires} = \frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{4}{6} \right)^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\]
Question 4: Trouvez le pourcentage de réduction de prix. Un article coûte initialement 200 € et coûte maintenant 150 €. Quel est le pourcentage de réduction?\[\text{Réduction} = 200 - 150 = 50 \text{ €}\]\[\text{Pourcentage} = \left( \frac{50}{200} \right) \times 100 = 25\%\]
Pointeurs Importants à Retenir sur les Proportions
- Les proportions se retrouvent souvent dans des problèmes de géométrie.
- Le théorème de Thalès est une méthode clé pour trouver des longueurs manquantes.
- Les aires sont proportionnelles au carré des longueurs des côtés.
- Utiliser la visualisation aide à comprendre les relations entre les éléments.
- Les graphiques peuvent représenter les relations proportionnelles.
- Vérifiez toujours vos conclusions avec des exemples numériques.
- Les pourcentages peuvent transformer des indicateurs en simplifications mentales.
- Les proportions peuvent apparaître dans plusieurs contextes (financier, physique, etc.).
- Les diagrammes peuvent clarifier les systèmes de proportions et les rapports.
- Les erreurs de calcul peuvent fausser les résultats proportionnels.
Définitions Clés Relatives aux Proportions
- Proportion: Une relation d'égalité entre deux rapports.
- Théorème de Thalès: Un concept qui utilise les lignes parallèles pour établir des relations de proportionnalité.
- Aire: La mesure de la surface d'une figure.
- Pourcentage: Un rapport exprimé en centièmes, souvent utilisé pour indiquer des réductions ou des augmentations.
- Rapport: Une comparaison entre deux quantités qui indique combien de fois une quantité contient l'autre.