Analyser les données Exercices statistiques corrigés
Apprenez à analyser des données grâce à ces exercices corrigés en statistiques. Un guide pratique pour les élèves du lycée et du collège souhaitant exceller.
Analyse Statistique des Données: Exercices Corrigés
Un professeur a recueilli les notes d'un groupe d'élèves à un examen de mathématiques. Voici les notes obtenues :75, 88, 92, 67, 85, 90, 100, 82, 76, 95.Répondez aux questions suivantes :- 1. Calculez la moyenne des notes.
- 2. Calculez la médiane des notes.
- 3. Calculez l'écart-type des notes.
- 4. Quel est le mode des notes ?
- 5. Créez un diagramme à barres représentant la distribution des notes.
- 6. Interprétez les résultats obtenus.
- 7. Quelle est la portée des notes ?
Règles et Méthodes Statistiques
- La moyenne est calculée en faisant la somme des valeurs divisée par le nombre total de valeurs.
- La médiane est la valeur qui sépare la moitié supérieure et inférieure d'un ensemble de données.
- L'écart-type mesure la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
- Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment dans un ensemble de données.
- La portée est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Indications pour le Calcul Statistique
- Pour la moyenne, additionnez toutes les notes et divisez par le nombre total de notes.
- Pour la médiane, classez d'abord les notes puis trouvez la valeur centrale.
- Pour l'écart-type, utilisez la formule : $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum (X_i - \overline{X})^2}$.
- Identifiez le mode en recherchant la note qui apparaît le plus souvent.
- La portée est simplement : max(note) - min(note).
Solutions Détaillées des Questions
1. Calcul de la Moyenne :
La moyenne est donnée par la formule :
\[\text{Moyenne} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \frac{75 + 88 + 92 + 67 + 85 + 90 + 100 + 82 + 76 + 95}{10} = \frac{ 899}{10} = 89.9\]
2. Calcul de la Médiane :
Les notes classées par ordre croissant sont : 67, 75, 76, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 100.
Comme il y a 10 valeurs (nombre pair), la médiane est la moyenne des 5ème et 6ème valeurs :
\[\text{Médiane} = \frac{85 + 88}{2} = 86.5\]
3. Calcul de l'Écart-Type :
Utilisons la formule de l'écart-type :
\[\text{Écart-Type} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (X_i - \overline{X})^2}\]Calculons les écarts :
- (75 - 89.9)² = 218.01
- (88 - 89.9)² = 3.61
- (92 - 89.9)² = 4.41
- (67 - 89.9)² = 529.00
- (85 - 89.9)² = 24.01
- (90 - 89.9)² = 0.01
- (100 - 89.9)² = 102.01
- (82 - 89.9)² = 62.41
- (76 - 89.9)² = 190.01
- (95 - 89.9)² = 26.01
Somme : 218.01 + 3.61 + 4.41 + 529.00 + 24.01 + 0.01 + 102.01 + 62.41 + 190.01 + 26.01 = 1139.5
\[\text{Écart-Type} = \sqrt{\frac{1139.5}{10}} \approx 10.67\]
4. Mode des Notes :
Il n'y a pas de note répétée. Donc, le mode n'est pas défini.
5. Diagramme à Barres :
6. Interprétation des Résultats :
La moyenne (89.9) indique un bon niveau général, mais la médiane (86.5) est inférieure, ce qui montre l'influence des notes très élevées. L'écart-type (10.67) montre une certaine dispersion des notes, tandis qu'il n'y a pas de mode défini.
7. Portée des Notes :
La portée est donnée par :
\[\text{Portée} = \text{max} - \text{min} = 100 - 67 = 33\]
Points Clés à Retenir
- La moyenne peut être influencée par des valeurs extrêmes.
- La médiane est plus robuste aux valeurs extrêmes.
- L'écart-type donne une idée de la dispersion des données.
- Le mode peut ne pas exister dans un ensemble de données.
- La portée est une mesure simple de la variabilité des données.
- Les graphiques aident à visualiser les distributions des données.
- Il est important de comprendre le contexte des données lors de leur analyse.
- Des outils logiciels peuvent faciliter des calculs complexes.
- Les statistiques descriptives sont essentielles dans toutes les analyses.
- S'assurer que les données sont propres est fondamental pour une bonne analyse.
Définitions Statistiques Clés
- Moyenne : Valeur moyenne de l'ensemble des données.
- Médiane : La valeur médiane d'un ensemble de données ordonné.
- Écart-Type : Mesure de la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
- Mode : La valeur la plus fréquente dans un ensemble de données.
- Portée : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
- Données : Ensemble des valeurs collectées pour l'analyse.
- Graphique : Représentation visuelle des données.
- Statistiques Descriptives : Méthodes utilisées pour résumer et décrire les informations présentes dans les données.
- Valeurs Extrêmes : Valeurs qui se situent considérablement au-delà de la majorité des données.
- Distribution : Façon dont les valeurs d’un ensemble de données sont étalées.
