Statistiques expliquées Exercices corrigés niveau lycée
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Exercice : Statistiques - Moyenne, Médiane et Mode
Nous avons les données suivantes sur les notes d'un groupe d'élèves en mathématiques : 12, 15, 14, 10, 18, 20, 17, 14, 15, 13. Répondez aux questions suivantes en utilisant ces données.Règles et Formules Statistiques
- Moyenne : $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
- Médiane : valeur du milieu lorsque les données sont classées
- Mode : valeur la plus fréquente dans un ensemble de données
- Écart-type : $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
Indications pour Résoudre les Questions
- Calculez la moyenne pour trouver le score moyen.
- Pour la médiane, classez les données et trouvez la valeur du milieu.
- Identifiez le mode en comptant les répétitions de chaque note.
- Pensez aux concepts de variation et d'écart-type pour d'autres analyses.
Solutions Détailées
1. **Moyenne :**
Pour calculer la moyenne, nous allons utiliser la formule moyenne :\[\bar{x} = \frac{12 + 15 + 14 + 10 + 18 + 20 + 17 + 14 + 15 + 13}{10} = \frac{ 14 + 10 + 18 + 20 + 17 + 14 + 15 + 13}{10} = \frac{ 15.4} = 15.4\]Alors, la moyenne des notes est de 15.4.
2. **Médiane :**
En classant les données : 10, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 17, 18, 20.
Comme nous avons un nombre pair de données (10), la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu :\[\text{médiane} = \frac{14 + 14}{2} = 14.\]Ainsi, la médiane est 14.
3. **Mode :**
Les valeurs répétées sont : 14 (2 fois) et 15 (2 fois). Comme il y a deux valeurs qui apparaissent le plus fréquemment, cet ensemble de données est bimodal, avec le mode égal à 14 et 15.
4. **Écart-type :**
Nous allons maintenant calculer l'écart-type avec la formule :\[s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}.\]Calculons $s$ en utilisant les données.\[x_i - \bar{x} : 12-15.4, 15-15.4, 14-15.4, 10-15.4, 18-15.4, 20-15.4, 17-15.4, 14-15.4, 15-15.4, 13-15.4 = -3.4, -0.4, -1.4, -5.4, 2.6, 4.6, 1.6, -1.4, -0.4, -2.4.\]Calculons maintenant les carrés :\[(-3.4)^2, (-0.4)^2, (-1.4)^2, (-5.4)^2, (2.6)^2, (4.6)^2, (1.6)^2, (-1.4)^2, (-0.4)^2, (-2.4)^2 = 11.56, 0.16, 1.96, 29.16, 6.76, 21.16, 2.56, 1.96, 0.16, 5.76.\]Sommes les carrés :\[\sum = 11.56 + 0.16 + 1.96 + 29.16 + 6.76 + 21.16 + 2.56 + 1.96 + 0.16 + 5.76 = 80.16.\]Finalement, on calcule :\[s = \sqrt{\frac{80.16}{10}} \approx 2.83.\]
Points Clés à Retenir
- La moyenne est une bonne mesure de tendance centrale.
- La médiane peut être plus informative quand les données sont asymétriques.
- Le mode montre les valeurs les plus communes.
- Les quatre chiffres importants pour la statistique sont moyenne, médiane, mode et écart-type.
- Un écart-type faible indique que les données sont proches de la moyenne.
- Un écart-type élevé indique une plus grande variation des données.
- Classer vos données aide à trouver la médiane.
- Utiliser des représentations graphiques peut accentuer les résultats statistiques.
- Les données peuvent être influencées par la présence de valeurs aberrantes.
- Réviser les concepts de base est essentiel pour la compréhension des statistiques.
Définitions des Termes Utilisés
- Moyenne : La somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs.
- Médiane : La valeur centrale d'un ensemble de données lorsqu'elles sont classées.
- Mode : La valeur qui apparaît le plus souvent dans un ensemble de données.
- Écart-type : Mesure de la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.