Perfectionnement en statistiques Exercices et solutions
Atteignez un niveau de perfectionnement en statistiques grâce à des exercices et solutions détaillés. Aide indispensable pour les élèves avancés du lycée.
Exercice de perfectionnement en statistiques pour le lycée
Un professeur a recueilli les notes de 30 élèves à un examen de mathématiques. Voici les notes : 12, 15, 14, 19, 20, 11, 10, 15, 16, 18, 12, 15, 17, 14, 13, 19, 20, 7, 8, 16, 13, 15, 14, 16, 19, 15, 14, 13, 12, 19.Calculez et analysez les statistiques suivantes :Règles et formules statistiques
- Moyenne : \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
- Médiane : valeur au centre d'une série de données triées.
- Mode : valeur(s) la ou les plus fréquentes dans les données.
- Variance : \( \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}\)
- Écart-type : \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)
- Étendue : différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Indications pour résoudre l'exercice
- Trier les données avant de calculer la médiane et le mode.
- Utiliser des tableaux pour faciliter le calcul des fréquences.
- Visualiser les données avec un graphique à barres pour mieux comprendre la distribution.
Correction détaillée
-
Moyenne :
Calculons la moyenne :
\[\bar{x} = \frac{(12 + 15 + 14 + 19 + 20 + 11 + 10 + 15 + 16 + 18 + 12 + 15 + 17 + 14 + 13 + 19 + 20 + 7 + 8 + 16 + 13 + 15 + 14 + 16 + 19 + 15 + 14 + 13 + 12 + 19)}{30} = \frac{ 497 }{30} \approx 16.57\] -
Médiane :
Pour trouver la médiane, nous devons d'abord trier les données :
Données triées : 7, 8, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20
Comme nous avons un nombre pair d'observations (30), la médiane est la moyenne des 15e et 16e valeurs :
\[Médiane = \frac{15 + 15}{2} = 15\] -
Mode :
Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment.
Les notes 15 et 19 apparaissent cinq fois, donc :
Mode = 15, 19
-
Variance :
Calculons la variance :
\[\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(12-16.57)^2 + (15-16.57)^2 + \ldots + (19-16.57)^2}{30}\]Calcul du résultat aboutit à \(\sigma^2 \approx 7.36\).
-
Écart-type :
L'écart-type est simplement la racine carrée de la variance :
\[\sigma \approx \sqrt{7.36} \approx 2.71\] -
Étendue :
Pour trouver l'étendue, on soustrait la valeur minimale de la valeur maximale :
\[Étendue = 20 - 7 = 13\]
Points clés à retenir sur les statistiques
- La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.
- La médiane est plus robuste que la moyenne en présence de valeurs aberrantes.
- Le mode peut donner des informations sur la distribution des données.
- La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des données.
- Les statistiques permettent d'analyser et de comprendre un ensemble de données.
- Visualiser des données aide à mieux comprendre les tendances.
- Les outils graphiques (histogrammes, boîtes à moustaches) sont essentiels à l'analyse.
- La loi de grande nombres souligne l'importance d'un échantillon représentatif.
- Avoir une bonne méthodologie d'échantillonnage est crucial.
- Les statistiques peuvent être utilisées pour la prise de décision éclairée.
Définitions des termes statistiques
- Moyenne : valeur centrale calculée en additionnant toutes les données et en divisant par le nombre de données.
- Médiane : valeur au centre d'une distribution, qui divise les données en deux moitiés.
- Mode : valeur ou valeurs les plus fréquentes dans un ensemble de données.
- Variance : mesure de la dispersion des données par rapport à la moyenne.
- Écart-type : racine carrée de la variance, fournissant une mesure de dispersion dans les mêmes unités que les données.
- Étendue : différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
- Distribution : façon dont les valeurs sont réparties sur l'échelle des valeurs.
- Histogramme : graphique représentant la distribution des données numériques.
- Échantillon : sous-ensemble de données tiré d'une population plus large.
- Population : l'ensemble total des éléments d'intérêt pour une étude statistique.
