Exercices corrigés sur la définition d'une suite niveau facile
Découvrez des exercices corrigés faciles sur la définition d'une suite. Parfait pour les débutants en mathématiques au lycée et au collège.
Exercices Corrigés sur la Définition d'une Suite
Considérons une suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 2n + 1 \). Voici une liste de questions à résoudre concernant cette suite :- 1. Calculez les cinq premiers termes de la suite.
- 2. Établissez la formule générale de la suite.
- 3. Quel est le terme \( u_{10} \) ?
- 4. Montrez que la suite est strictement croissante.
- 5. Quelle est la limite de la suite lorsque \( n \) tend vers l'infini ?
- 6. Quel est le sens de variation de la suite ?
- 7. Représentez graphiquement les premiers termes de la suite.
- 8. Pour quelle valeur de \( n \) obtient-on \( u_n = 25 \) ?
Règles et Méthodes pour Définir une Suite
- Une suite est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble des entiers naturels.
- La formule d'une suite peut souvent être écrite sous la forme \( u_n = f(n) \) où \( f \) est une fonction.
- Pour montrer qu'une suite est croissante, il faut prouver que \( u_{n+1} > u_n \) pour tout \( n \).
- La limite d'une suite lorsque \( n \) tend vers l'infini se calcule en examinant le comportement de \( u_n \).
- Représenter graphiquement une suite aide à visualiser son comportement.
Indications pour Résoudre les Questions
- Pour les termes de la suite, remplacez \( n \) par 1, 2, 3, 4, et 5.
- Pour la formule générale, observez le terme en fonction de \( n \).
- Pour calculer \( u_{10} \), remplacez \( n \) par 10 dans la formule donnée.
- Pour vérifier la croissance, comparez \( u_{n+1} \) et \( u_n \).
- Analysez le comportement asymptotique de \( u_n \) pour la limite.
- Pour le sens de variation, vérifiez si la suite augmente ou diminue.
Solutions Detaillées des Questions
1. Les cinq premiers termes de la suite :
Pour \( n = 1 : u_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \
Pour \( n = 2 : u_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \
Pour \( n = 3 : u_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \
Pour \( n = 4 : u_4 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \
Pour \( n = 5 : u_5 = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \
Les cinq premiers termes sont : \( 3, 5, 7, 9, 11 \)
2. La formule générale de la suite :
La formule est donnée par \( u_n = 2n + 1 \)
3. Calcul du terme \( u_{10} \) :
Pour \( n = 10 : u_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21 \
Donc, \( u_{10} = 21 \)
4. Vérification que la suite est strictement croissante :
On vérifie pour \( u_{n+1} \) :
Soit \( u_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2n + 3 \)
Alors, \( u_{n+1} - u_n = (2n + 3) - (2n + 1) = 2 > 0 \)
Donc, la suite est strictement croissante.
5. Limite de la suite :
Quand \( n \to \infty \), \( u_n = 2n + 1 \to \infty \).
6. Sens de variation :
La suite est croissante car \( u_{n+1} > u_n \) pour tout \( n \).
7. Représentation graphique :
8. Pour quelle valeur de \( n \) obtient-on \( u_n = 25 \) :
On pose \( 2n + 1 = 25 \).
D'où \( 2n = 24 \) alors \( n = 12 \).
Donc, \( n = 12 \).
Points Clés à Retenir
- Une suite est un ensemble ordonné de nombres.
- Chaque terme de la suite dépend du précédent par une relation définie.
- Pour une suite arithmétique, les différences entre les termes successifs sont constantes.
- Une suite est croissante si chaque terme suivant est supérieur au précédent.
- Pour prouver une croissance, il suffit de montrer que la différence est positive.
- La limite d'une suite peut être infinie ou convergente vers un nombre réel.
- Représenter la suite graphiquement permet de mieux visualiser son comportement.
- La formule de la suite est essentielle pour son analyse.
- les séries de suites sont fondamentales en analyse mathématique.
- Pour résoudre des équations de suite, isolez le terme de la suite.
Définitions et Termes Importants
- Suite : Une suite est une fonction dont l'ensemble de définition est un sous-ensemble des entiers naturels.
- Terme : Chaque élément d'une suite est appelé un terme.
- Formule générale : C'est l'expression mathématique qui définit tous les termes de la suite.
- Strictement croissante : Une suite est strictement croissante si \( u_{n+1} > u_n \) pour tout \( n \).
- Limite : La limite d'une suite est la valeur que les termes approchent quand \( n \) devient très grand.
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