Exercices avancés de définition d'une suite avec solutions complètes

Pour les étudiants avancés, explorez nos exercices de définition d'une suite avec solutions complètes, pour approfondir vos capacités en mathématiques.

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Exercices avancés sur les définitions de suites

Dans cet exercice, nous allons explorer la définition d'une suite, en nous concentrant sur les suites arithmétiques et géométriques. Répondez aux questions suivantes :

1. Définissez la notion de suite et donnez des exemples.
2. Trouvez le terme général d'une suite arithmétique.
3. Exprimez explicitement le n^ième terme d'une suite géométrique.
4. Calculez la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique.
5. Déterminez la limite d'une suite donnée.
6. Résolvez un problème pratique impliquant des suites.

Règles et Formules sur les Suites

Une suite est une liste ordonnée de nombres appelés termes.
Suite arithmétique : un_n = a + (n - 1)d, où a est le premier terme et d est la différence commune.
Suite géométrique : un_n = a × r^n-1, où a est le premier terme et r est la raison de la suite.
Somme d'une suite arithmétique : S_n = n/2 × (u₁ + u_n)
Pour une suite géométrique : S_n = a × (1 - rⁿ) / (1 - r) si r ≠ 1.

Indications d'Utilisation des Suites

Visualisez les suites à l'aide de graphiques.
Utilisez des diagrammes pour montrer les relations entre les termes.
Écrivez des exemples concrets pour mieux comprendre.
Représentez les suites arithmétiques et géométriques à l'aide de graphiques.
Utilisez des calculatrices en ligne pour vérifier vos résultats.

Solutions Détailées aux Questions

1. Définition de la suite :

Une suite est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel ; elle est souvent notée (u_n). Par exemple, la suite (u_n) = 2n est une suite qui associe à 0, 2, 4, 6, etc.

2. Terme général d'une suite arithmétique :

Pour une suite arithmétique un : \[u_n = a + (n - 1)d\]où a est le premier terme et d est la différence commune.

3. Terme général d'une suite géométrique :

Pour une suite géométrique un : \[u_n = a \times r^{n-1}\] où a est le premier terme et r est la raison.

4. Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique :

La somme des n premiers termes est donnée par \[S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n)\]où u₁ est le premier terme.

5. Limite d'une suite :

Pour une suite définie comme \[u_n = \frac{1}{n}\]la limite lorsque n tend vers l'infini est 0.

6. Problème pratique :

Si une suite représente le montant d'argent Épargné chaque mois et est définie par u_n = 100 + 50(n-1), trouvez combien d'argent aurait été économisé après 10 mois :

Calculer S₁₀ avec la formule précédente.