Exercices corrigés sur les suites géométriques simples

Découvrez des exercices corrigés sur les suites géométriques simples pour renforcer vos compétences en mathématiques. Idéal pour le lycée et le collège.

Exercices corrigés sur les suites géométriques simples

Dans cet exercice, nous allons explorer les suites géométriques en répondant aux questions suivantes :

Question 1 : Déterminez le terme général de la suite géométrique suivante : 2, 6, 18, 54, ...
Question 2 : Trouvez le 5ème terme de la suite géométrique définie par le terme général $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$.
Question 3 : Soit une suite géométrique dont le premier terme est 7 et le quotient est 2. Calculez le 4ème terme.
Question 4 : Si le 3ème terme d'une suite géométrique est 24 et le 6ème terme est 192, trouvez le terme général.
Question 5 : Une suite géométrique a pour premier terme 12 et un quotient de $q=\frac{1}{2}$. Déterminez la somme des 6 premiers termes.
Question 6 : Montrez que la suite définie par $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ converge si $0 < r < 1$.
Question 7 : Quelle est la somme des termes de la suite arithmétique de premier terme 3 et de dernier terme 51 avec une raison de 3 ?
Question 8 : Trouvez le quotient de la suite définie par $b_n = 4^n$ et $b_{n+1} = 4^{n+1}$.

Règles et formules des suites géométriques

La suite géométrique est définie par la formule : $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, où $a_1$ est le premier terme et $r$ est le ratio (quotient).
Pour une suite géométrique, le rapport entre deux termes consécutifs est constant : $r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$.
La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par :
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$ si \(r \neq 1$$
Les suites géométriques convergent lorsque $0 < r < 1$, et divergent lorsque $r > 1$.

Indications pour résoudre les suites géométriques

Identifiez $a_1$ et $r$ pour déterminer le terme général.
Pour calculer un terme, remplacez $n$ dans la formule $a_n$.
Pour la somme, utilisez la formule appropriée en fonction de la valeur de $r$.
Tracez un graphique pour visualiser la croissance de la suite géométrique.

graph TD; A[Déterminer a1 et r] --> B[Calculer an]; B --> C[Appliquer formule de somme]; C --> D[Visualiser avec un graphique];

Corrigés des exercices sur les suites géométriques

Question 1 : Les termes de la suite sont 2, 6, 18, 54. Nous identifions que le rapport constant $r$ est $r = 3$. Donc, le terme général est :$$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$$

Question 2 : Pour $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$, nous calculons le 5ème terme :$$a_5 = 5 \cdot 3^{5-1} = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405$$

Question 3 : Le premier terme est 7 et le ratio est 2, le 4ème terme est :$$a_4 = 7 \cdot 2^{4-1} = 7 \cdot 2^3 = 7 \cdot 8 = 56$$

Question 4 : Soit $a_n$ le terme général. Écrivons $a_3 = 24$ et $a_6 = 192$. Nous avons :$$a_3 = a_1 \cdot r^2 = 24$$$$a_6 = a_1 \cdot r^5 = 192$$En divisant les deux équations, on obtient :$$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2} \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$$En remplaçant $r$ dans $a_3$, nous trouvons $a_1 = 6$. Donc,$$a_n = 6 \cdot 2^{n-1}$$

Question 5 : La somme des 6 premiers termes de la suite avec $a_1 = 12$ et $r = \frac{1}{2}$ est :$$S_6 = 12 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 12 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 12 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 12 \cdot \frac{63}{32} = 23.625$$

Question 6 : Analysons $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ pour $0 < r < 1$. En limite nous avons :$$\lim_{n \to \infty} a_n = a_1 \cdot \lim_{n \to \infty} r^{n-1} = 0$$Donc, la suite converge.

Question 7 : La somme des termes est donnée par :$$S = 3 + 6 + 9 + \ldots + 51$$Calculons le nombre de termes $n$:$$n = \frac{51 - 3}{3} + 1 = 17$$La somme est :$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{17}{2} \cdot (3 + 51) = \frac{17}{2} \cdot 54 = 459$$

Question 8 : La suite est définie par $b_n = 4^n$. Le quotient est :$$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4$$

Points clés à retenir sur les suites géométriques

Un terme de la suite est toujours obtenu par la formule $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
Le rythme de la suite géométrique dépend du quotient $r$.
La somme des termes peut être calculée avec une formule spécifique.
Les termes peuvent croître ou décroître, selon la valeur de $r$.
Des applications dans le monde réel incluent les intérêts composés.
La convergence est un aspect crucial des séries infinies.
Les suites géométriques sont utilisées en finance pour calculer les revenus futurs.
La visualisation graphique aide à comprendre les propriétés des suites géométriques.
Les calculs de la somme dépendent fortement du rapport $r$.
Les suites sont souvent utilisées dans des contextes algébriques complexes.

Définitions des termes relatifs aux suites géométriques

Suite géométrique : Une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant, appelé le rapport.
Premier terme : Le premier élément de la suite, indiqué par $a_1$.
Rapport (quotient) : Le facteur par lequel chaque terme est multiplié pour obtenir le terme suivant, noté $r$.
Terme général : Le terme qui représente tous les éléments de la suite, donné par $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
Somme des termes : La somme totale des $n$ premiers termes de la suite.
Convergence : La propriété d'une suite de se rapprocher d'une certaine valeur à mesure que les termes augmentent.
Divergence : La situation où les termes d'une suite n'approchent pas d'une valeur finie.
Applications : Utilisation des suites dans des domaines comme les finances, la physique, et bien d'autres.

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