Exercices sur la détermination de termes d'une suite géométrique

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Exercices sur la détermination de termes d'une suite géométrique

Dans cet exercice, nous allons explorer les propriétés des suites géométriques à travers plusieurs questions pratiques. Répondez aux questions suivantes :

1. Trouvez le terme général d'une suite géométrique donnée.
2. Déterminez le premier terme et la raison d'une suite géométrique.
3. Calculez un terme spécifique d'une suite géométrique.
4. Montrez comment la somme des termes d'une suite géométrique est calculée.

Règles et Formules des Suites Géométriques

Terme général : Le terme général d'une suite géométrique s'exprime par \( U_n = U_1 \times r^{(n-1)} \).
Calculer la somme des \( n \) premiers termes : \( S_n = U_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \) si \( r \neq 1 \).
Vitesse de croissance : La raison \( r \) détermine si la suite croît ou décroît.

graph TD; A[Terme Général] --> B[T_1, Raison r]; A --> C[Somme des n premiers termes]; B --> D[1er terme U_1]; C --> E[Calculer S_n];

Indications pour Résoudre les Exercices

Identifiez le premier terme et la raison.
Utilisez la formule du terme général pour exprimer \( U_n \).
Pour la somme, n'oubliez pas la formule en fonction de la raison.

Solutions Détaillées

Question 1:

Nous avons la suite \( U_1 = 3 \) et \( r = 2 \). Le terme général est donné par :

\( U_n = U_1 \times r^{(n-1)} \Rightarrow U_n = 3 \times 2^{(n-1)} \).

Question 2:

Pour déterminer \( U_1 \) et \( r \), prenons simplement deux termes exemples, disons \( U_1 = 4 \) et \( U_2 = 12 \).

On peut établir : \( r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12}{4} = 3 \).

Question 3:

Pour le terme \( U_5 \): \[ U_5 = 3 \times 2^{(5-1)} = 3 \times 16 = 48. \]

Question 4:

Pour la somme des 5 premiers termes :

\[ S_5 = 3 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 32}{-1} = 3 \times 31 = 93. \]

Points Clés à Retenir

Compréhension du terme général d'une suite géométrique.
Importance de la raison dans la forme de la suite.
Calcul de la somme des termes est fondamentale.
Le premier terme est essentiel pour tous les calculs.
Des exemples pratiques aident à mieux comprendre.
Utiliser des représentations visuelles pour clarifier les concepts.
Extension des concepts à d'autres types de suites.
Considérer les implications des valeurs de \( r \).
Pratique régulière pour la maîtrise des suites géométriques.
Liens entre suites géométriques et exponentielles.

Définitions et Termes Utilisés

Suite Géométrique : Une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante, appelée raison.
Terme Général : Expression algébrique qui représente le \( n \)-ème terme d'une suite.
Somme des Termes : Total de tous les termes d'une suite jusqu'à un certain nombre \( n \).