Exercices Corrigés sur la Notation des Suites - Niveau Débutant

Découvrez des exercices corrigés pour bien comprendre la notation des suites. Idéal pour le niveau débutant et pour maîtriser les bases des suites.

Exercices Corrigés sur la Notation des Suites - Niveau Débutant

Considérons une suite $(u_n)$ définie par une relation explicite ou récurrente. Cet exercice comporte quatre questions concernant la notation des suites, leur calcul et leur représentation graphique.

Règles Fondamentales de la Notation des Suites

Définition d'une suite : Une suite est une fonction dont le domaine est l'ensemble des entiers naturels.
Notation d'une suite : On note généralement une suite $(u_n)$, où $n$ est l'indice.
Relation explicite : La formule qui donne $u_n$ en fonction de $n$.
Relation récurrente : On définit une suite par rapport à ses précédents termes, par exemple : $u_n = 2 \cdot u_{n-1} + 1$.
Convergence : Une suite est convergente si elle tend vers une limite à mesure que $n$ augmente.

Conseils pour Comprendre les Suites

Il est crucial de bien comprendre les différences entre les relations explicites et récurrentes. N'hésitez pas à écrire les premiers termes d'une suite pour visualiser son comportement.

graph TB; A[Début] --> B[Notation des suites]; B --> C[Relation explicite]; B --> D[Relation récurrente]; C --> E[Calcul des premiers termes]; D --> F[Calcul des premiers termes];

Corrections détaillées des exercices

Question 1: Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3n + 2$. Calculez $u_1$, $u_2$, et $u_3$.

Pour $n=1$: $u_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.

Pour $n=2$: $u_2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$.

Pour $n=3$: $u_3 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$.

Question 2: Déterminez si la suite $(u_n)$ converge.

La suite est linéaire et n'a pas de limite à l'infini (elle continue d'augmenter). Donc, elle diverge.

Question 3: Soit $u_1 = 1$ et $u_n = 2 \cdot u_{n-1} + 1$. Déterminez $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

Pour $n=2$: $u_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Pour $n=3$: $u_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Pour $n=4$: $u_4 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$.

graph TD; A[La suite] --> B[$u_1 = 1$]; A --> C[$u_2 = 3$]; A --> D[$u_3 = 7$]; A --> E[$u_4 = 15$];

Question 4: Représentez graphiquement la suite $u_n = 3n + 2$ et la suite définie par $u_n = 2 \cdot u_{n-1} + 1$.

Points Clés à Retenir

Une suite est une fonction de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$.
La relation explicite donne directement le terme général.
La relation récurrente dépend des termes précédents.
Il est utile de calculer les premiers termes pour comprendre la suite.
La divergence et la convergence sont des concepts cruciaux à mémoriser.
Les représentations graphiques aident à visualiser le comportement des suites.
Les suites arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers.
Utilisez des schémas pour comprendre les définitions.
Les suites définies par récurrence peuvent souvent simplifier les calculs.
Assurez-vous de pratiquer différents types de suites pour vous familiariser avec le sujet.

Définitions des Termes Utilisés

Suite : Ensemble ordonné d'éléments, souvent noté $(u_n)$.
Relation explicite : Formule qui exprime un terme $u_n$ par rapport à $n$.
Relation récurrente : Formule reliant un terme à un ou plusieurs termes précédents.
Divergence : Caractérise les suites qui ne convergent pas vers un nombre limite.
Convergence : Propriété d'une suite qui tend vers une limite à l'infini.

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