Notion de Suites Exercices Corrigés pour Intermédiaires
Progresser avec nos exercices corrigés sur la notation des suites. Parfait pour les élèves intermédiaires souhaitant consolider leurs connaissances.
Introduction aux Suites : Exercices Corrigés
Nous allons examiner la notion de suites à travers plusieurs exercices. Chaque question mettra en avant une facette différente des suites, allant des suites arithmétiques aux suites géométriques, en passant par des comportements asymptotiques.Règles et Formules des Suites
- Une suite est une fonction dont le domaine est l'ensemble des entiers naturels.
- Pour une suite arithmétique : \( u_n = u_1 + (n-1) \cdot r \) où \( r \) est la raison.
- Pour une suite géométrique : \( u_n = u_1 \cdot q^{(n-1)} \) où \( q \) est la raison.
- La somme des \( n \) premiers termes d'une suite arithmétique : \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (u_1 + u_n) \).
- La somme des \( n \) premiers termes d'une suite géométrique : \( S_n = u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \) si \( q \neq 1 \).
Indications Pour Résoudre les Exercices
- Identifiez le type de suite : arithmétique, géométrique, ou autre.
- Utilisez les formules appropriées selon le type de suite.
- Calculez les premiers termes pour illustrer la suite.
- Cherchez des motifs ou des comportements dans les termes calculés.
- Pour les suites définies par récurrence, assurez-vous de comprendre les conditions initiales.
Solutions Détailées aux Exercices
Question 1
Soit la suite définie par \( u_n = 3n + 2 \). Calculez les cinq premiers termes.
Solution :
Calculons les premiers termes :
1. \( u_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \)
2. \( u_2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8 \)
3. \( u_3 = 3 \cdot 3 + 2 = 11 \)
4. \( u_4 = 3 \cdot 4 + 2 = 14 \)
5. \( u_5 = 3 \cdot 5 + 2 = 17 \)
Les cinq premiers termes sont donc 5, 8, 11, 14, 17.
Question 2
Soit la suite géométrique définie par \( u_n = 2 \cdot 3^{n-1} \). Calculez les trois premiers termes.
Solution :
1. \( u_1 = 2 \cdot 3^{0} = 2 \)
2. \( u_2 = 2 \cdot 3^{1} = 6 \)
3. \( u_3 = 2 \cdot 3^{2} = 18 \)
Les trois premiers termes sont 2, 6, 18.
Question 3
Calculer la somme des trois premiers termes de la suite arithmétique définie par \( u_n = 5 + (n-1) \cdot 3 \).
Solution :
Les trois premiers termes sont 5, 8, 11.
La somme est : \( S_3 = 5 + 8 + 11 = 24 \).
Question 4
La suite \( u_n \) est définie par la récurrence suivante : \( u_1 = 1 \) et \( u_{n+1} = 2u_n + 1 \). Calculez \( u_2 \) et \( u_3 \).
Solution :
- \( u_2 = 2 \cdot u_1 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \)
- \( u_3 = 2 \cdot u_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \)
Donc, \( u_2 = 3 \) et \( u_3 = 7 \).
Question 5
Donnez l’expression du terme général de la suite définie par récurrence et trouver \( u_4 \) : \( u_1 = 1; u_{n+1} = 3u_n \).
Solution :
La suite est géométrique, donc : \( u_n = 3^{n-1} \)
Ainsi, \( u_4 = 3^{3} = 27 \).
Question 6
Calculez la somme des cinq premiers termes de la suite géométrique définie par \( u_n = 5 \cdot 2^{n-1} \).
Solution :
Les premiers termes sont 5, 10, 20, 40, 80.
Somme : \( S_5 = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155 \).
Question 7
Étudier la convergence de la suite \( u_n = \frac{1}{n} \).
Solution :
Nous observons que lorsque \( n \to \infty \), \( u_n \to 0 \). Donc, la suite converge vers 0.
Points Clés à Retenir
- Une suite est définie par sa formule explicite ou par récurrence.
- Les suites arithmétiques ajoutent un nombre constant (raison).
- Les suites géométriques multiplient par un nombre constant.
- Utiliser les formules de somme selon le type de suite.
- Les suites convergentes approchent une limite finie.
- Les suites divergentes n'ont pas de limite finie.
- Les suites définies par récurrence nécessitent l'accès à des termes précédents.
- Visualiser les suites peut aider à comprendre leur comportement.
- Graphes et schémas peuvent illustrer la progression des suites.
- Pratiquer avec divers exercices renforce la compréhension.
Définitions des Termes Utilisés
- **Suite :** Une fonction définie sur les entiers naturels.
- **Arithmétique :** Suite où chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre fixe au terme précédent.
- **Géométrique :** Suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre fixe.
- **Convergence :** Comportement d'une suite qui se rapproche d'une certaine valeur à mesure que \( n \) augmente.
- **Divergence :** Comportement d'une suite qui ne s'approche pas d'une limite fixe.
Exercices Avancés de Notation des Suites avec Corrections 
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