Exercices intermédiaires sur les suites arithmétiques à corriger

Testez vos connaissances avec ces exercices intermédiaires corrigés sur les suites arithmétiques. Une aide précieuse pour progresser en mathématiques!

Exercice Intermédiaire sur les Suites Arithmétiques

Un nombre d'élèves a besoin de renforcer leurs connaissances sur les suites arithmétiques. Cet exercice se compose de plusieurs questions pratiques visant à évaluer leur compréhension de ce sujet.

1. Trouvez le terme général de la suite arithmétique suivante : 2, 4, 6, 8, ...
2. Calculez le 20e terme de la suite arithmétique dont le premier terme est 7 et la raison est 3.
3. Déterminez la somme des 15 premiers termes de la suite arithmétique : 5, 8, 11, ...
4. En partant du terme 10 et en utilisant une raison de 5, quel sera le 12e terme de la suite ?
5. Si le premier terme d'une suite arithmétique est 12 et que sa somme des 10 premiers termes est 150, quelle est la raison de la suite ?
6. Représentez graphiquement la suite arithmétique dont le premier terme est 3 et la raison est 2.

Règles et Formules des Suites Arithmétiques

Le terme général d'une suite arithmétique est donné par la formule :
\( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est :
\( S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot r) \)
Chaque terme d'une suite arithmétique est obtenu en ajoutant la raison au terme précédent.

graph TD; A[Début] --> B{Calculer le terme}; B -->|Oui| C[Utilise \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)]; C --> D[Terminer]; B -->|Non| E[Calculer la somme]; E --> F[Utilise \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot r)\)]; F --> D;

Indications pour la Résolution des Exercices

Identifiez le premier terme de la suite.
Déterminez la raison en soustrayant deux termes consécutifs.
Pour la somme, utilisez la formule adéquate selon le nombre de termes.
Prenez garde à bien appliquer les formules de manière appropriée.

graph TD; A[Identifiez le premier terme] --> B[Calculez la raison]; B --> C{Calculer le nᵉ terme ou somme}; C -->|Termes| D[Utilisez \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)]; C -->|Sommes| E[Utilisez \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot r)\)];

Solutions Détaillées

Question 1

La suite est : 2, 4, 6, 8, ...
Le premier terme \(a_1 = 2\) et la raison \(r = 2\).
Le terme général est donné par :

\( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2n \)

Question 2

Le 20e terme se calcule avec :

\( a_{20} = 7 + (20-1) \cdot 3 = 7 + 57 = 64 \)

Question 3

La somme des 15 premiers termes :
\( S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2 \cdot 5 + (15-1) \cdot 3) = \frac{15}{2} \cdot (10 + 42) = \frac{15}{2} \cdot 52 = 15 \cdot 26 = 390 \)

Question 4

Le 12e terme avec \(a_1 = 10\) et \(r = 5\) :

\( a_{12} = 10 + (12-1) \cdot 5 = 10 + 55 = 65 \)

Question 5

La somme des 10 premiers termes est 150 : \( S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 12 + (10-1) \cdot r) = 150 \)
Soit : \( 5 \cdot (24 + 9r) = 150\), donc \( 24 + 9r = 30 \) donc \( 9r = 6 \) soit \( r = \frac{2}{3} \)

Question 6

Points Clés à Retenir

Un terme d'une suite arithmétique se calcule avec \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\).
La somme des n premiers termes est \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot r)\).
La raison est constante, et est la même pour tous les termes.
Chaque nouveau terme est obtenu en ajoutant la raison au terme précédent.
Les suites arithmétiques peuvent être représentées graphiquement.
Les termes peuvent être négatifs ou positifs.
Les suites arithmétiques sont utilisées dans divers domaines, notamment la finance.
Comprendre la modélisation d'une suite arithmétique aide à résoudre des problèmes complexes.
Les suites arithmétiques sont définies par au moins deux termes.
Elles ont une application extensive dans les séries et les séquences mathématiques.

Définitions des Termes Utilisés

Suite Arithmétique : Une suite de nombres dans laquelle chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une constante, appelée la raison, au terme précédent.
Premier Terme : Le premier élément d'une suite.
Raison : La constante ajoutée à chaque terme pour obtenir le terme suivant.
Somme des n Premiers Termes : La somme de tous les termes d'une suite jusqu'à un certain nombre de termes.
Terme Général : Une expression qui donne le n-ème terme d'une suite.