Comprendre les suites arithmétiques exercices corrigés

Apprenez à résoudre les suites arithmétiques grâce à ces exercices corrigés. Un guide complet pour élèves de collège et lycée!

Téléchrger le PDF Document

Exercice corrigé sur les suites arithmétiques

Dans cet exercice, nous allons étudier les suites arithmétiques à travers différents problèmes. 1. Déterminez le terme général d'une suite arithmétique dont le premier terme est 5 et la différence est 3.2. Calculez le 10ème terme de la suite trouvée à la question 1.3. Calculez la somme des 20 premiers termes de cette suite.4. Représentez graphiquement les 20 premiers termes de cette suite.

Règles des suites arithmétiques

Un terme général d'une suite arithmétique se note : \(U_n = U_1 + (n-1) \cdot d\) où \(U_1\) est le premier terme, \(d\) est la différence.
La somme des \(n\) premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée avec la formule : \(S_n = \frac{n}{2} (U_1 + U_n)\).
Le \(n\)-ème terme peut aussi être défini par : \(U_n = U_1 + (n-1) \cdot d\) où \(d\) est la constante qui sépare deux termes successifs.

graph TD; A[« Suite arithmétique »] --> B[« Premier terme U1 »]; A --> C[« Différence d »]; B --> D[« Terme général Un »]; C --> D; D --> E[« Somme des n premiers termes »];

Indications pour la résolution

Pour trouver le terme général, identifiez \(U_1\) et \(d\).
Pour calculer le \(n\)-ème terme, appliquez la formule \(U_n\).
Utilisez la somme pour des séries plus longues, en utilisant \(n\) et les termes trouvés.
Il peut être utile de dessiner les premiers termes pour visualiser la suite.

graph TD; A[« Trouver Un »] --> B[« Appliquer U1 et d »]; A --> C[« Calculer Sn »]; C --> D[« Afficher sous forme graphique »];

Corrigé des questions

1. Pour déterminer le terme général :
Nous avons \( U_1 = 5 \) et \( d = 3 \). Donc, le terme général est : \[U_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2\]

2. Pour calculer le 10ème terme :
\[U_{10} = 3 \cdot 10 + 2 = 30 + 2 = 32\]

3. Pour la somme des 20 premiers termes :
Déterminons d'abord \(U_{20}\): \[U_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 60 + 2 = 62\]Calculons ensuite \(S_{20}\):\[S_{20} = \frac{20}{2} (5 + 62) = 10 \cdot 67 = 670\]

4. Pour représenter graphiquement les 20 premiers termes :
Nous allons utiliser Chart.js pour visualiser la suite. Le tableau ci-dessous contiendra les 20 premiers termes:

Points clés à retenir

Un terme général permet de calculer n'importe quel terme de la suite.
La différence est constante dans une suite arithmétique.
La somme des termes peut être simplifiée par la formule de somme.
Les suites arithmétiques sont linéaires.
Graphiquement, elles se représentent par une droite.
La première question est fondamentale pour établir le reste de l'exercice.
Il est important de vérifier les calculs intermédiaires.
Utiliser des graphiques aide à visualiser les concepts mathématiques.
Les suites arithmétiques se rencontrent fréquemment dans des applications pratiques.
Pratiquer avec différents exemples renforce la compréhension.

Définitions importantes

Suite arithmétique : Une suite de nombres dans laquelle chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une constante (d) au terme précédent.
Premier terme : Le premier élément d'une suite, noté \(U_1\).
Différence : La constante ajoutée entre deux termes successifs, notée \(d\).
Terme général : L'expression qui permet de calculer le terme à n’importe quelle position, notée \(U_n\).
Somme des termes : La somme de plusieurs termes consécutifs d'une suite arithmétique, souvent notée \(S_n\).