Exercices pratiques avancés en suites géométriques

Approfondissez vos connaissances avec des exercices pratiques avancés sur les suites géométriques, accompagnés de corrections détaillées.

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Exercices Pratiques Avancés en Suites Géométriques

Les suites géométriques sont des suites dans lesquelles chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée la raison. Dans cet exercice, nous allons explorer différentes propriétés des suites géométriques à travers quatre questions.

Règles et Formules des Suites Géométriques

La formule générale d'une suite géométrique est donnée par : $u_n = u_1 \cdot r^{n-1}$, où $u_n$ est le n-ième terme, $u_1$ est le premier terme et $r$ est la raison.
La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique peut être calculée par : $$S_n = \frac{u_1 (1 - r^n)}{1 - r}, \text{ si } r \neq 1$$
Pour $r = 1$, la somme est simple : $S_n = n \cdot u_1$.

graph TD; A[Début] --> B[Définir u1 et r]; B --> C{Condition: r ≠ 1 ?}; C -- Oui --> D[Utiliser S_n formula]; C -- Non --> E[Utiliser S_n = n * u1];

Indications pour Résoudre les Exercices

Identifiez le premier terme et la raison de la suite.
Pour les calculs de somme, vérifiez la condition de la raison.
Construisez des graphiques pour visualiser la progression des termes.
Considérez des exemples concrets pour chaque question posée.

Solutions Détaillées des Questions

Question 1

Soit $u_1 = 2$ et $r = 3$. Calculez le 5ème terme de la suite.

Pour trouver $u_5$, nous utilisons la formule :

$$u_n = u_1 \cdot r^{n-1}$$

Calculons :
1. $u_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.$

Question 2

Calculez la somme des 5 premiers termes de cette suite.

Utilisant $r \neq 1$ :

$$S_5 = \frac{u_1(1 - r^5)}{1 - r} = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 243)}{-2} = 242.$$

Question 3

Soit une suite dont le premier terme est $u_1 = 1$ et la raison $r = \frac{1}{2}$. Quel est le 10ème terme ?

Calculons :

$$u_{10} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \frac{1}{512}.$$

Question 4

Calculez la somme des 10 premiers termes.

Utilisons la formule des sommes :

$$S_{10} = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{10})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{1024}) = 2 - \frac{2}{1024} = 2 - \frac{1}{512} = \frac{1023}{512}.$$

graph TD; A[Question 1] --> B[Calculer 5ème terme]; A --> C[Calculer somme]; B --> D[u5 = 162]; C --> E[S5 = 242];

Points Clés à Retenir sur les Suites Géométriques

Les suites géométriques sont définies par une raison constante.
Il existe différentes formules pour les termes et les sommes.
La visualisation des termes aide à comprendre leur comportement.
Les séries infinies peuvent converger ou diverger selon la raison.
La raison $r < 1$ permet d'observer une décroissance rapide.
Les suites géométriques sont utilisées dans divers domaines scientifiques.
Identifiez correctement le premier terme et la raison pour éviter les erreurs.
Utilisez des calculatrices ou des graphes pour valider les résultats.
Pratiquez des problèmes variés pour maîtriser le concept des suites géométriques.
Récapitulez régulièrement les formules et les concepts.

Définitions Importantes

Suite géométrique : une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constant.
Raison : le facteur constant par lequel chaque terme est multiplié dans une suite géométrique.
Somme des termes : la somme de plusieurs termes d'une suite, calculée à l'aide de formules spécifiques.