Résolution d'exercices sur les suites géométriques

Apprenez à résoudre divers exercices sur les suites géométriques, avec des corrections illustrant chaque étape de la résolution.

Exercice sur les Suites Géométriques

Un investisseur décide d'investir une somme d'argent et de prévoir les retours sur investissement sur plusieurs années. Chaque année, il constate que son investissement est multiplié par un coefficient constant, connu sous le nom de raison d'une suite géométrique. Répondez aux questions suivantes :
  • Question 1 : Si l'investissement initial est de 1000 euros et que la raison est de 1,05, quel sera le montant de cet investissement après 5 ans ?
  • Question 2 : Calculez le terme général de la suite représentant la valeur de l'investissement après n années.
  • Question 3 : Quelle est la somme des 10 premiers termes de la suite si l'investissement initial est de 1500 euros et la raison est de 1,02 ?
  • Question 4 : Représentez graphiquement la valeur de l'investissement pour les 10 premières années.

Règles et Formules des Suites Géométriques

  • Un terme d'une suite géométrique est donné par : \(U_n = U_0 \times r^n\), où \(U_0\) est le premier terme, \(r\) est la raison et \(n\) est le rang du terme.
  • La somme des \(n\) premiers termes d'une suite géométrique est : \[ S_n = U_0 \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (si \, r \neq 1) \]
  • Pour \(r = 1\), la somme devient \(S_n = n \times U_0\).
  • La suite est croissante si \(r > 1\) et décroissante si \(r < 1\).
graph TD; A[Terme initial] --> B[Multiplier par raison] B --> C[Calculer le terme suivant] C --> A

Indications pour les Exercices

  • Utilisez la formule pour le terme général afin d'exprimer la valeur de l'investissement après n années.
  • Pour la somme des termes, assurez-vous d'appliquer correctement les valeurs de la raison et du premier terme.
  • Pour la représentation graphique, définissez des valeurs d'axes appropriées.
graph TD; A[Sélectionner les valeurs du problème] --> B[Appliquer les formules] B --> C[Calculer les résultats] C --> D[Visualiser les données]

Solutions Détailées des Questions

Question 1 :

Nous devons calculer la valeur de l'investissement après 5 ans avec la formule \(U_n = U_0 \times r^n\). Ici, \(U_0 = 1000\), \(r = 1,05\), et \(n = 5\).

Donc, \(U_5 = 1000 \times (1,05)^5 \approx 1000 \times 1,27628 \approx 1276,28\) euros.

Question 2 :

Le terme général de la suite est donné par : \[U_n = 1000 \times (1,05)^n.\]

Question 3 :

Pour la somme des 10 premiers termes avec \(U_0 = 1500\) et \(r = 1,02\), nous utilisons la formule :\[S_{10} = 1500 \times \frac{1 - (1,02)^{10}}{1 - 1,02}.\]Calculons \(S_{10} = 1500 \times \frac{1 - 1,21899}{-0,02} \approx 1500 \times \frac{-0,21899}{-0,02} \approx 1500 \times 10,9495 \approx 16424,30\) euros.

Question 4 :

Pour représenter graphiquement la valeur de l'investissement pour les 10 premières années, nous utilisons Chart.js. Voici le code pour générer le graphique :

Points Clés à Retenir

  • La définition d'une suite géométrique.
  • Formule du terme général d'une suite géométrique.
  • La méthode de calcul de la somme des termes.
  • Illustration graphique des valeurs d'investissement sur plusieurs années.
  • Importante de la raison dans la détermination de la croissance ou décroissance.

Définitions des Termes Utilisés

  • Suite Géométrique : Une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée la raison.
  • Terme Général : Expression mathématique qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite.
  • Somme des Termes : Addition des premiers termes d'une suite, souvent calculée pour déterminer le total après plusieurs périodes.

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