Exercices corrigés sur les propriétés des suites géométriques

Explorez les propriétés des suites géométriques avec des exercices corrigés, conçus pour aider à la préparation des examens.

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Exercices Corrigés sur les Propriétés des Suites Géométriques

Dans ce document, nous allons explorer les propriétés des suites géométriques à travers 8 exercices corrigés. Chaque question est conçue pour vous aider à consolider votre compréhension des suites géométriques.

Règles et Formules des Suites Géométriques

Une suite géométrique est définie par une première valeur \( a_1 \) et un rapport constant \( q \).
La formule du terme \( n \)-ième est donnée par :
\( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \)
La somme des \( n \) premiers termes d'une suite géométrique est calculée par :
\( S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \) si \( q \neq 1 \)
Si \( q = 1 \), alors \( S_n = n \cdot a_1 \).
Le produit des \( n \) premiers termes est :
\( P_n = a_1^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}} \)

Indications pour Résoudre les Exercices

Identifiez la première valeur et le rapport de la suite.
Déterminez le nombre de termes que vous devez calculer.
Appliquez les formules appropriées pour chaque question.
Utilisez un tableau ou un graphique pour visualiser les termes de la suite.

graph TD; A[Identifiez la première valeur] --> B[Déterminez le rapport] B --> C[Calculez les termes avec la formule] C --> D[Utilisez S_n pour la somme]

Solutions Détaillées des Exercices

Exercice 1

Question : Soit la suite géométrique définie par \( a_1 = 3 \) et \( q = 2 \). Trouvez \( a_5 \).
Solution :

Utilisons la formule : \( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \).
Pour \( n = 5 \), nous avons :
\( a_5 = 3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48 \).

Exercice 2

Question : Calculez la somme des 10 premiers termes de la suite définie par \( a_1 = 5 \) et \( q = 3 \).
Solution :

Appliquons la formule de somme :
\( S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \).
Substituons les valeurs :
\( S_{10} = 5 \cdot \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{1 - 59049}{-2} = 5 \cdot \frac{-59048}{-2} = 5 \cdot 29524 = 147620 \).

Exercice 3

Question : Trouvez le produit des 4 premiers termes d'une suite avec \( a_1 = 1 \) et \( q = 0.5 \).
Solution :

Utilisons la formule : \( P_n = a_1^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}} \).
Alors,
\( P_4 = 1^4 \cdot 0.5^{\frac{4(4-1)}{2}} = 1 \cdot 0.5^{6} = 0.015625 \).

Points Clés à Retenir

Les suites géométriques ont un ratio constant entre termine successifs.
La somme d'une suite géométrique dépend du rapport et du nombre de termes.
Les produits des termes montrent la croissance rapide des suites exponentielles.
Utiliser des graphiques aide à visualiser la croissance d'une suite géométrique.
Les applications des suites géométriques se trouvent dans les finances, la biologie, etc.
Comprendre la différence entre suites géométriques croissantes et décroissantes.
Vérifiez les termes pour utiliser la bonne formule.
Faites des exercices pratiques pour maîtriser le sujet.
Revoyez les propriétés fondamentales régulièrement.
Utilisez des outils graphiques pour mieux comprendre les concepts.

Définitions des Termes Utilisés

Suite géométrique : une liste de nombres où chaque terme après le premier est trouvé en multipliant le terme précédent par un nombre fixe appelé rapport.
Rapport (q) : le facteur constant par lequel les termes d'une suite géométrique sont multipliés.
Somme des termes : la totalisation des \( n \) premiers éléments d'une suite géométrique.
Produit des termes : l'opération de multiplication de tous les premiers éléments d'une suite géométrique.
Terme \( n \)-ième : le \( n \)-ième élément d'une suite, défini par une règle.