Comprendre les suites géométriques à travers des exercices corrigés

Renforcez votre compréhension des suites géométriques avec des exercices corrigés, adaptés aux besoins des élèves de lycée et de collège.

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Exercice: Comprendre les Suites Géométriques

Un investisseur décide de placer 1000 € dans un compte qui augmente de 5% chaque année. 1. Quelle sera la valeur de l'investissement après 5 ans ? 2. Quelle est la formule générale de la suite géométrique ? 3. Quel montant l'investisseur aura-t-il après 10 ans ? 4. Quel est le taux de croissance nécessaire pour doubler son investissement en 7 ans ?

Règles et Formules des Suites Géométriques

La formule générale d'une suite géométrique est donnée par \( a_n = a_0 \times r^n \) où \( a_n \) est le terme de rang \( n \), \( a_0 \) est le premier terme, et \( r \) est le rapport de la suite.
Le rapport \( r \) peut être calculé comme suit : \( r = \frac{a_{n+1}}{a_n} \).
Pour trouver le terme \( n \) d'une suite géométrique, utilisez la formule : \( a_n = a_0 \times r^n \).
La somme des \( n \) premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : \( S_n = a_0 \frac{1 - r^n}{1 - r} \) si \( r \neq 1 \).

Indications pour Résoudre les Exercices

Identifiez \( a_0 \) et \( r \) à partir de l'énoncé.
Utilisez la formule pour calculer les termes demandés.
Pour le taux de croissance, appliquez la formule \( r = (1 + i) \) où \( i \) est le taux d'intérêt.

Corrigés des Questions

1. Pour la valeur de l'investissement après 5 ans :

Soit \( a_0 = 1000 \), \( r = 1 + 0.05 = 1.05 \).
Nous voulons calculer \( a_5 = 1000 \times 1.05^5 \).
Calculons :
\( a_5 = 1000 \times 1.27628 \approx 1276.28 \) €. Donc, la valeur est d'environ 1276,28 €.

2. La formule générale d'une suite géométrique est : \( a_n = a_0 \times r^n \).

3. Après 10 ans, on a :

\( a_{10} = 1000 \times 1.05^{10} \)
Calculons :
\( a_{10} = 1000 \times 1.62889 \approx 1628.89 \) €. Ainsi, le montant après 10 ans est d'environ 1628,89 €.

4. Pour doubler l'investissement en 7 ans, on cherche \( r \) tel que :

\( 2000 = 1000 \times r^7 \)
Soit \( r^7 = 2 \).
D'où \( r = 2^{1/7} \approx 1.1041 \) soit un taux d'environ 10.41 % par an.

Visualisation des Suites Géométriques

graph TD;    A[Début] --> B[Calculez a_0];    B --> C[Identifiez le rapport r];    C --> D[Calculez a_n];    D --> E[Affichez le résultat];    E --> F[Fini];

Points Clés à Retenir sur les Suites Géométriques

La suite géométrique se caractérise par un rapport constant entre les termes.
Elle est utilisée dans divers domaines tels que la finance, la modélisation mathématique.
La compréhension des suites géométriques est essentielle pour l'étude des séries.
Le taux de croissance impacte significativement les résultats à long terme.
Les suites géométriques peuvent croître ou décroître en fonction du rapport.
La formule de la somme est utile pour des calculs rapides.
Les graphiques aident à mieux visualiser l'évolution des termes.
Il est possible de déterminer le terme n directement avec la formule.
La logique des suites géométriques est applicable dans des contextes réels.
Une maîtrise des exponentielles est nécessaire pour avancer en mathématiques.

Définitions des Termes Utilisés

Suite géométrique : Suite de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre fixe appelé le rapport.
Rapport (r) : Valeur constante qui définit le multiplicateur entre les termes d'une suite géométrique.
Terme (a_n) : Éléments d'une suite, indexés par \( n \).
Investissement : Placement d'argent avec l'attente de revenus ou de bénéfices.
Intérêt composé : Intérêt calculé sur le montant initial et sur les intérêts acumulés.