Applications pratiques des suites géométriques avec corrections
Découvrez les applications pratiques des suites géométriques à travers des exercices corrigés, parfaits pour l'apprentissage au lycée.
Applications Pratiques des Suites Géométriques
Un investisseur souhaite placer son argent dans une entreprise. Il constate que l'entreprise propose un plan d'investissement où les bénéfices se multiplient par 1,5 chaque année. En plus de cela, il envisage également de faire un plan d'épargne où il comptabilise un certain montant chaque année. Nous allons explorer les applications de ces suites géométriques à travers les questions suivantes.Règles et Formules des Suites Géométriques
- Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un coefficient constant appelé raison.
- Formule du terme général : \( U_n = U_1 \times q^{n-1} \), où \( U_1 \) est le premier terme, \( q \) la raison, et \( n \) le rang du terme.
- La somme des \( n \) premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : \( S_n = U_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \) si \( q \neq 1 \).
Indications pour Résoudre les Exercices
- Identifiez la raison \( q \) dans chaque problème.
- Utilisez la formule du terme général pour trouver les valeurs des termes demandés.
- Pour la somme de plusieurs termes, appliquez la formule de la somme des termes de la suite géométrique.
- Réalisez un diagramme de représentation si nécessaire pour chaque partie de votre raisonnement.
Corrigés Détailés des Questions
- Quelle est la valeur des bénéfices après 5 ans si l'investissement initial est de 1000 €?
- Calculez la somme des bénéfices après 5 ans.
- Combien l'investissement atteindra-t-il après 10 ans?
- Si l'investissement est doublé chaque année (raison \( q = 2 \)), quelle sera la valeur après 5 ans ?
- Tracez un graphique montrant l'évolution de l'investissement sur 10 ans avec \( q = 1,5 \).
- Quel montant atteindra l'investissement après 20 ans avec \( q = 1,5 \)?
- Si l'on souhaite atteindre au moins 10 000 € en 5 ans, quel serait l'investissement initial nécessaire avec une raison de 1,5 ?
Application de la formule du terme général :
\( U_5 = 1000 \times 1,5^{5-1} = 1000 \times 1,5^4 = 1000 \times 5,0625 = 5062,50 € \).
Utilisation de la formule de la somme des termes :
\( S_5 = 1000 \times \frac{1 - 1,5^5}{1 - 1,5} = 1000 \times \frac{1 - 7,59375}{-0,5} = 1000 \times 13,1875 = 13187,50 € \).
Calcul du 10ème terme :
\( U_{10} = 1000 \times 1,5^{9} = 1000 \times 38,44 = 38443,45 € \).
Application de la nouvelle formule avec \( q = 2 \):
\( U_5 = 1000 \times 2^{4} = 1000 \times 16 = 16000 € \).
Calcul du 20ème terme :
\( U_{20} = 1000 \times 1,5^{19} \approx 1000 \times 18696,1 = 18696100 € \).
Résolution de l'équation :
\( U_5 \geq 10000 \Rightarrow 1000 \times 1,5^{4} \geq 10000 \Rightarrow 1000 \times 5,0625 \geq 10000 \Rightarrow U_1 \geq \frac{10000}{5,0625} \approx 1975,57 € \).
Points Clés à Retenir
- Les suites géométriques sont définies par une raison constante.
- La formule du terme général est essentielle pour calculer n'importe quel terme.
- La somme des premiers termes se calcule facilement avec sa formule.
- Les applications pratiques sont courantes dans les investissements financiers.
- Il est crucial de bien identifier le premier terme et la raison.
- Un graphique aide à visualiser l'évolution d'une suite.
- La raison influence fortement la croissance de la suite.
- Pour des calculs de grande ampleur, l'utilisation d'outils est recommandée.
- Une suite géométrique peut augmenter très rapidement en fonction de \( q \).
- Conservez toujours les unités consistantes dans vos calculs.
Définitions Importantes
- Suite Géométrique : Une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant appelé raison.
- Raison : Le facteur constant par lequel on multiplie pour obtenir le terme suivant.
- Terme Général : La formule qui exprime le n-ième terme d'une suite.
- Série : La somme des termes d'une suite.
- Investissement : Un placement d'argent avec l'attente d'un retour financier.
Exercices corrigés faciles sur les suites arithmétiques