Exercices difficiles sur les suites géométriques avec corrections

Affrontez des exercices difficiles sur les suites géométriques et accédez aux corrections détaillées pour parfaire votre compréhension.

Exercices difficiles sur les suites géométriques

Soit une suite géométrique définie par un premier terme \( u_1 = a \) et une raison \( r \). Répondre aux questions suivantes :

1. Trouver le terme général de la suite.
2. Calculer la somme des 10 premiers termes.
3. Déterminer le terme \( u_n \) sachant que \( u_5 = 81 \) et \( r = 3 \).
4. Analyser la convergence ou divergence de la suite pour \( |r| < 1 \).
5. Représenter graphiquement les 10 premiers termes de la suite pour \( a = 2 \) et \( r = 2 \).

Règles fondamentales des suites géométriques

La formule du \( n \)-ième terme est \( u_n = u_1 \cdot r^{n-1} \).
La somme des \( n \) premiers termes est donnée par: \[ S_n = u_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \text{ si } r \neq 1 \]
Pour \( |r| < 1 \), la suite convergera vers 0.

graph TD; A[Début] --> B{Est-ce une suite géométrique ?}; B -- Oui --> C[Utiliser \( u_n = u_1 \cdot r^{n-1} \)]; B -- Non --> D[Utiliser d'autres propriétés]; C --> E[Calculer \( S_n \) selon la méthode appropriée]; E --> F[Fins];

Indications pour la résolution des exercices

Identifiez toujours le premier terme et la raison de la suite.
Pour les sommes, vérifiez si la raison est différente de 1.
Utilisez des calculatrices pour des valeurs élevées de \( n \) afin d’éviter les erreurs de calcul.

Corrections détaillées des questions

Question 1:

Le terme général est donné par la formule : \( u_n = u_1 \cdot r^{n-1} \) où \( u_1 = a \). Par exemple, avec \( a = 2 \) et \( r = 3 \), nous obtenons : \[ u_n = 2 \cdot 3^{n-1} \].

Question 2:

La somme des 10 premiers termes est : \[ S_{10} = u_1 \frac{1 - r^{10}}{1 - r} \]. En utilisant \( u_1 = 2 \) et \( r = 3 \), nous avons : \[ S_{10} = 2 \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 2 \frac{1 - 59049}{-2} = 59048. \]

Question 3:

Nous savons que \( u_5 = 81 \). Calculons \( a \) : \[ u_5 = a \cdot 3^{5-1} \Rightarrow 81 = a \cdot 81 \Rightarrow a = 1. \]

Question 4:

Pour \( |r| < 1 \), la suite converge vers 0, ce qui signifie que les termes approchent 0 à l'infini.

Question 5:

Pour représenter graphiquement les 10 premiers termes de la suite, nous allons créer un graphique avec Chart.js.

Points clés sur les suites géométriques

Rappeler la définition de la raison d'une suite géométrique.
Comprendre la formule pour le terme général.
Appliquer la formule de la somme efficacement.
Différencier les cas de convergence.
Visualiser la croissance des suites.
Identifier les erreurs communes de calcul.
Utiliser des outils graphiques pour l'analyse.
Interpréter les résultats des sommes de suites.
Pratiquer avec des exemples variés.
Revoir régulièrement pour renforcer les connaissances.

Définitions des termes utilisés

Suite géométrique : suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante appelée raison.
Terme général : expression qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite.
Somme des termes : total des valeurs des \( n \) premiers termes d'une suite.
Convergence : propriété d'une suite qui approche une valeur limite.

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