Résolution de systèmes linéaires pour débutants

Apprenez à résoudre vos premiers systèmes linéaires grâce à ces exercices corrigés, spécialement conçus pour les débutants en mathématiques.

Téléchrger le PDF Document

Résolution de systèmes linéaires : exercice pratique

Dans cet exercice, nous allons résoudre des systèmes d'équations linéaires simples. Voici les questions :
  1. Établissez un système d'équations à partir d'une situation donnée.
  2. Résolvez le système par la méthode de substitution.
  3. Résolvez le système par la méthode d'élimination.
  4. Représentez graphiquement le système d'équations.
  5. Interprétez les résultats graphiquement.
  6. Vérifiez la solution trouvée par substitution dans les équations initiales.
  7. Discutez de l'unicité ou de l'absence de solution.
  8. Résoudre un système d'équations avec une variable paramétrée.

Règles et méthodes de résolution des systèmes linéaires

  • Produire un système d'équations à partir d'un problème réel.
  • Utiliser la méthode de substitution : isoler une variable.
  • Utiliser la méthode d'élimination : ajouter ou soustraire des équations.
  • Représenter chaque équation dans un plan cartésien pour visualiser les solutions.
  • Interpréter le graphique : point d'intersection = solution du système.
graph TD; A[Équations] --> B[Substitution] A[Équations] --> C[Élimination] B --> D[Solution] C --> D[Solution]

Indications pour résoudre les systèmes d'équations

  • Commencez par identifier les variables.
  • Utilisez des nombres simples pour une meilleure compréhension.
  • Représentez graphiquement chaque équation pour avoir un aperçu.
  • Vérifiez les solutions pour éviter les erreurs.
  • Soignez la mise en forme lors de l'écriture des équations.
graph TD; A[Identifier les variables] --> B[Utiliser des nombres simples] A --> C[Représentation graphique] B --> D[Vérification]

Corrections détaillées des exercices

Question 1 : Établissons un système d'équations à partir de la situation suivante : un commerce vend un livre à 10€ et un magazine à 5€. Si un client achète 4 livres et 3 magazines pour 50€, quelles sont les équations ?

Nous établissons le système :\[\begin{cases} 10x + 5y = 50 \\ x = 4 \\ y = 3 \end{cases}\]

Question 2 : Méthode de substitution.

Nous isolons y dans la première équation : \[5y = 50 - 10x \Rightarrow y = \frac{50 - 10x}{5} = 10 - 2x\]

Question 3 : Méthode d'élimination. Additionnons les équations pour éliminer y.

Pour les coefficients des équations respectifs, nous avons :\[10x + 5y - 5y = 50 \Rightarrow 10x = 50 \Rightarrow x = 5\]Nous substituons x dans une des équations:\[10(5) + 5y = 50 \Rightarrow 50 + 5y = 50 \Rightarrow 5y = 0 \Rightarrow y = 0\]

Question 4 et 5 : Représentation graphique des fonctions. Cela serait fait avec Chart.js comme montré ci-dessous :

Question 6 : Vérification des solutions.

Pour x=4, y=3 dans l'équation : \[10(4) + 5(3) = 40 + 15 = 55 \text{ (OK)}\]

Question 7 : Discussion sur l'unicité de la solution. Dans ce cas, on a une solution unique.

Question 8 : Résolution d'un système paramétré : \[\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ x + 2y = a \end{cases}\]On peut résoudre selon différentes valeurs pour a.

Points clés à retenir

  • Un système linéaire a généralement une, aucune ou plusieurs solutions.
  • Les méthodes de substitution et d'élimination sont fondamentales.
  • La représentation graphique aide à visualiser les solutions.
  • Vérifier les solutions est essentiel pour assurer leur conformité.
  • La solution d'un système paramétré dépend des valeurs choisies.
  • Les systèmes peuvent être exprimés sous forme matricielle.
  • Les solutions doivent toujours être contextualisées.
  • Comprendre la géométrie des équations linéaires est capital.
  • Les erreurs courantes incluent une mauvaise interprétation des résultats.
  • Le suivi d'une méthode structurée facilite la résolution.

Définitions importantes

  • Système d'équations linéaires : Un ensemble d'équations qui partagent un même ensemble de variables.
  • Variable : Une lettre représentant un nombre dans une équation.
  • Équation : Une affirmation mathématique comprenant une égalité.
  • Solution : Une valeur qui rend l'équation vraie.
  • Méthode de substitution : Technique consistant à isoler une variable avant de substituer.
  • Méthode d'élimination : Technique consistant à ajouter ou soustraire des équations pour éliminer une variable.
  • Représentation graphique : Utilisation d'axes pour visualiser les solutions d'un système d'équations.
  • Paramétré : Système où une ou plusieurs valeurs peuvent changer.
  • Unicité : État d'avoir une solution unique.
  • Matriciel : Représentation d'un système d'équations sous forme de matrice.

Autres Cours

Systèmes d'équations Méthode de substitution expliquée

Résoudre des systèmes par la méthode d'élimination

Applications pratiques des systèmes d'équations

Identifier et résoudre différents types de systèmes d'équations