Systèmes d'équations Méthode de substitution expliquée
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Systèmes d'équations : Méthode de substitution
Cette exercice va se concentrer sur la méthode de substitution pour résoudre des systèmes d'équations. Nous allons construire un exercice détaillé avec plusieurs questions.- Question 1 : Résoudre le système d'équations suivant :
- Question 2 : Vérifier la solution trouvée en substituant dans les équations initiales.
- Question 3 : Proposer un autre système d'équations ayant la même solution.
- Question 4 : Expliquer pourquoi la méthode de substitution est utile pour résoudre ce type de système.
Règles et Formules Essentielles
- Pour tout système sous la forme :
y = mx + b
(équation de la droite), l'on peut substituer y dans l'autre équation. - Quand l'on résout un système avec substitution, la première étape consiste à isoler une variable.
- Après substitution, résolvez pour l'autre variable avant de substituer à nouveau.
- Vérifiez toujours vos solutions en les remplaçant dans les équations originales.
Indications pour la résolution
- Commencez par isoler une variable dans l'une des équations.
- Substituez cette variable dans l'autre équation.
- Résolvez l'équation résultante pour obtenir l'autre variable.
- Substituez à nouveau pour obtenir la valeur de la variable initialement isolée.
- Graphiquement, recherchez le point d'intersection des deux droites.
Solutions Détailées
Question 1 : Résoudre le système d'équations
Les équations sont :1) y = 2x + 3
2) y = -x + 1
Étape 1 : Substituer l'équation 1 dans l'équation 2.-x + 1 = 2x + 3
Étape 2 : Résoudre pour x.1 - 3 = 2x + x
-2 = 3x
x = -\frac{2}{3}
Étape 3 : Substituer x dans l'équation 1 pour trouver y.y = 2(-\frac{2}{3}) + 3 = -\frac{4}{3} + 3 = \frac{5}{3}
Ainsi, la solution est(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3})
.Question 2 : Vérification
Substituons dans les équations.Pour y = 2x + 3 :y = 2(-\frac{2}{3}) + 3 = -\frac{4}{3} + 3 = \frac{5}{3}
Pour y = -x + 1 :y = -(-\frac{2}{3}) + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}
Les deux solutions concordent, vérification réussie.Question 3 : Proposer un autre système
Un système contenant la même solution pourrait être :1) y = 2(-\frac{2}{3}) + 5
2) -x + 1 = 0.5y + 1
Les équations peuvent être adaptées, mais la solution demeurera la même.Question 4 : Utilité de la méthode de substitution
Cette méthode est utile car elle permet de résoudre des systèmes d'équations où les variables sont interconnectées, surtout quand une variable est facilement isolable. Cela réduit la complexité de la résolution en permettant de travailler sur une seule équation à la fois.Points Clés à Retenir
- La méthode de substitution est très efficace pour les systèmes simples.
- Toujours vérifier vos solutions via substitution.
- Les systèmes peuvent avoir une unique solution, aucune solution, ou une infinité.
- Les graphiques aident à visualiser et confirmer les solutions.
- Isoler une variable peut parfois être plus simple que d'utiliser l'élimination.
- Les erreurs de calcul sont fréquentes, soyez attentifs.
- Utilisez des méthodes graphiques pour avoir un aperçu visuel.
- Diversifier les méthodes peut faciliter la compréhension.
- Collaborez avec d'autres pour interpréter des systèmes difficiles.
- Pratiquez régulièrement avec différents types de systèmes d'équations.
Définitions Importantes
- Système d'équations : Un ensemble de deux ou plusieurs équations à résoudre simultanément.
- Variable : Un symbole, souvent x ou y, représentant un nombre que l’on cherche à résoudre.
- Substitution : Une méthode qui consiste à remplacer une variable par une expression équivalente dans une autre équation.
- Solution : Les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système.
- Graphique : Représentation visuelle des équations qui permet de visualiser les solutions comme points d'intersection.
