Résoudre des systèmes par la méthode d'élimination
Explorez comment résoudre des systèmes d'équations par élimination. Nos exercices corrigés vous guident pas à pas pour réussir facilement.
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Résoudre des systèmes d'équations par la méthode d'élimination
Dans cet exercice, nous allons résoudre un système d'équations à deux variables en utilisant la méthode d'élimination. Ce système est donné par :1) \( 2x + 3y = 12 \)2) \( 4x - y = 5 \)Nous allons décomposer le problème en plusieurs questions.Règles de la méthode d'élimination
- Isoler une des variables dans une des équations.
- Substituer cette variable dans l'autre équation.
- Résoudre l'équation résultante pour trouver la valeur de la variable.
- Substituer la valeur trouvée dans l'une des équations originales pour trouver l'autre variable.
graph TD;
A[Équation 1] --> B{Isoler une variable}
B --> C[Substituer dans Équation 2]
C --> D{Résoudre l'équation}
D --> E[Obtenir valeur de variable]
E --> F[Substituer pour l'autre variable]
Indications pour la résolution
- Choisissez la variable que vous souhaitez éliminer.
- Assurez-vous que les coefficients des variables à éliminer soient opposés.
- Utilisez une opération de multiplication si nécessaire.
- Vérifiez vos calculs à chaque étape.
graph TD;
A[Choisir une variable] --> B[Établir coefficients opposés]
B --> C{Multiplier si nécessaire}
C --> D[Calculer les valeurs]
D --> E{Vérification}
Correction détaillée des questions
Question 1
Résolvons les équations données. Pour la première équation :1) \( 2x + 3y = 12 \)Nous pouvons isoler \( y \) :\[3y = 12 - 2x\]\[y = \frac{12 - 2x}{3}\]Substituons \( y \) dans l'autre équation :2) \( 4x - y = 5 \)\[4x - \left(\frac{12 - 2x}{3}\right) = 5\]Nous multiplions chaque terme par 3 pour se débarrasser du dénominateur :\[12x - (12 - 2x) = 15\]\[12x - 12 + 2x = 15\]\[14x - 12 = 15\]\[14x = 27\]\[x = \frac{27}{14}\]Maintenant, nous substituons \( x \) dans l'équation pour trouver \( y \) :\[y = \frac{12 - 2(\frac{27}{14})}{3} = \frac{12 - \frac{54}{14}}{3} = \frac{12 - \frac{27}{7}}{3}\]Pour simplifier, nous convertissons 12 en septièmes :\[y = \frac{\frac{84}{7} - \frac{27}{7}}{3} = \frac{\frac{57}{7}}{3} = \frac{19}{7}\]Finalement, la solution du système est \( x = \frac{27}{14} \) et \( y = \frac{19}{7} \).Question 2
Quelles sont les valeurs trouvées pour \( x \) et \( y \) ? - \( x = \frac{27}{14} \)- \( y = \frac{19}{7} \)Question 3
Vérifiez la solution. Remplaçons \( x \) et \( y \) dans les équations originales :1) \( 2\left(\frac{27}{14}\right) + 3\left(\frac{19}{7}\right) = 12 \) → Vrai.2) \( 4\left(\frac{27}{14}\right) - \left(\frac{19}{7}\right) = 5 \) → Vrai.Question 4
Que se passe-t-il si les coefficients ne permettent pas d’éliminer une variable ? Cela pourrait indiquer que le système n’a pas de solution unique ou qu’il est indéterminé.Question 5
Comment représenter graphiquement ces équations ? Utilisez Chart.js pour tracer les deux lignes.Question 6
Que signifie une solution qui est incompatible (pas de solution) ? Cela indique que les lignes sont parallèles.Question 7
Dessinez un diagramme pour montrer la solution du système.Points clés à retenir
- La méthode d'élimination est efficace pour résoudre les systèmes d'équations.
- Choisissez les équations judicieusement pour isoler rapidement les variables.
- Vérifiez toujours vos calculs.
- Représentation graphique aide à visualiser les solutions.
- Les systèmes peuvent avoir une, aucune ou une infinité de solutions.
- Beaucoup de systèmes peuvent être résolus par plusieurs méthodes.
- L'élimination est particulièrement utile si les coefficients sont simples à gérer.
- Tout système avec deux équations à deux inconnues peut être résolu de cette manière.
- Gardez les valeurs sous forme fractionnaire pour éviter des erreurs de calcul.
- La vérification des solutions est essentielle avant de conclure.
Définitions importantes
- Système d'équations: Un ensemble d'équations à résoudre simultanément.
- Méthode d'élimination: Technique pour résoudre un système en éliminant une variable à la fois.
- Variable: Inconnue dans une équation que l'on cherche à déterminer.
- Solution: Ensemble des valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système.
- Coefficients: Valeurs numériques qui multiplient les variables dans les équations.