Applications pratiques des systèmes d'équations
Découvrez les applications réelles des systèmes d'équations grâce à des exercices pratiques et corrigés. Idéal pour développer vos compétences en maths.
Applications pratiques des systèmes d'équations
Un agriculteur souhaite planter deux types de cultures sur son terrain comptant 1200 m². Le premier type de culture nécessite 40 m² par plant et le deuxième 30 m². L'agriculteur souhaite avoir 30 plants au total. Répondez aux questions suivantes :- 1. Déterminez le nombre de plants pour chaque type de culture.
- 2. Si chaque plant du premier type rapporte 10€ et chaque plant du deuxième type 15€, quelle est la recette totale ?
- 3. Quelle serait la recette totale si l'agriculteur plantait uniquement le premier type ?
- 4. Quelle superficie occuperait chaque type de culture si l'on maximisait la recette, en respectant la contrainte de surface ?
- 5. Représentez graphiquement les résultats par un diagramme.
Règles et méthodes de résolution
- Utiliser un système d'équations pour modéliser le problème.
- Les équations peuvent être résolues par substitution ou par élimination.
- Le premier type de culture : let x = nombre de plants de ce type.
- Le deuxième type de culture : let y = nombre de plants de ce type.
- Équations :
1) 40x + 30y = 1200
2) x + y = 30
Indications pour la résolution
- Résoudre un système d'équations pour trouver les valeurs de x et y.
- Vérifiez si les solutions respectent les contraintes du problème.
- Utiliser un graphique pour visualiser les solutions possibles.
- Calculer les valeurs maximales ou minimales à partir des résultats obtenus.
Solutions détaillées
1. Pour résoudre les équations :
Nous avons :
1) \(40x + 30y = 1200\)
2) \(x + y = 30\)
On peut exprimer y en fonction de x avec la deuxième équation:
\(y = 30 - x\)
En substituant cette expression dans la première équation :
\(40x + 30(30 - x) = 1200\)
\(40x + 900 - 30x = 1200\)
\(10x + 900 = 1200\)
\(10x = 300\)
\(x = 30\)
Alors, \(y = 30 - 30 = 0\)
Donc, l'agriculteur peut planter 30 plants du premier type et aucune du second.
2. Pour la recette totale :
Recette = \(10x + 15y = 10(30) + 15(0) = 300 + 0 = 300 €\)
3. Si l'on plante uniquement le premier type :
Recette = \(10(30) = 300 €\)
4. Pour maximiser la recette, on a déjà trouvé que planter 30 plants du premier type est optimal. La surface occupée serait \(40 \cdot 30 = 1200 m²\) et le second type n'occupe aucune surface.
graph LRA[Début] --> B{Système d'équations}B --> C[Calcul des plants]C --> D[Calcul des recettes]D --> E[Visualisation des résultats]E --> F[Fins]
Points clés à retenir
- Un système d'équations peut modéliser des situations réelles.
- Les méthodes de substitution et d'élimination sont utiles pour résoudre des systèmes.
- Des variables peuvent représenter des quantités dans des problèmes pratiques.
- Les solutions doivent être vérifiées contre les contraintes du problème.
- La visualisation graphique aide à comprendre les relations entre les variables.
- La maximisation ou minimisation des recettes peut être faite en utilisant des systèmes d'équations.
- Les équations linéaires peuvent représenter des surfaces ou des capacités.
- Il est important d'analyser les solutions dans le contexte du problème.
- Des diagrammes peuvent rendre l'analyse des problèmes plus claire.
- Les problèmes pratiques des systèmes d'équations se rencontrent dans divers domaines comme l'agriculture, la finance, etc.
Définitions importantes
- **Systèmes d'équations** : Ensemble d'équations à résoudre simultanément.
- **Variable** : Une lettre représentant une valeur inconnue.
- **Recette** : Montant d'argent reçu pour des ventes.
- **Surface** : Mesure de l'espace occupé par une forme.
- **Maximiser** : Trouver le plus grand nombre possible dans un ensemble de valeurs.
- **Substitution** : Remplacer une variable par une autre équation.
- **Élimination** : Méthode pour supprimer une variable en ajoutant ou soustrayant des équations.
- **Constrainte** : Condition qui doit être respectée dans un problème.
- **Graphique** : Représentation visuelle de données ou d'équations.
- **Planter** : Action de mettre en terre des graines ou des plants.
