Identifier et résoudre différents types de systèmes d'équations
Apprenez à identifier et résoudre facilement différents types de systèmes d'équations grâce à ces exercices corrigés pour les élèves de lycée et collège.
Identifier et résoudre différents types de systèmes d'équations
Pour cet exercice, nous allons explorer différents systèmes d'équations, en identifiant leurs types et en les résolvant. Répondez aux questions suivantes :- Déterminez le type de système d'équations suivant :
$2x + 3y = 6$
$4x + 6y = 12$ - Résolvez le système d'équations suivant par substitution :
$x + y = 10$
$2x - y = 3$ - Résolvez le système d'équations suivant par la méthode d'élimination :
$3x + 4y = 5$
$2x - 2y = -6$ - Visualisez le système d'équations suivant sur un graphique :
$y = 2x + 1$
$y = -x + 5$ - Discutez de la nature du système suivant :
$x + 2y = 4$
$2x + 4y = 8$
Règles et méthodes pour résoudre des systèmes d'équations
- Utiliser la substitution pour résoudre les systèmes d'équations lorsque l'une des équations est facilement isolable.
- Appliquer la méthode d'élimination pour les systèmes dans lesquels les coefficients de l'une des variables sont les mêmes ou opposés.
- Graphiquement, trouver le point d'intersection des lignes pour les systèmes de deux équations.
- Analyser la nature des systèmes : systèmes compatibles (unique solution), systèmes compatibles indéterminés (infinité de solutions) et systèmes incompatibles (pas de solution).
graph TD;
A[Équations] --> B[Résoudre par substitution]
A --> C[Résoudre par élimination]
A --> D[Visualiser graphiquement]
A --> E[Analyser la nature]
Indications pour résoudre les systèmes d'équations
- Pour utiliser la substitution, isolez l'une des variables dans une équation.
- Pour la méthode d'élimination, multipliez une ou plusieurs équations pour aligner les coefficients.
- Sur le graphique, les axes x et y représentent respectivement les valeurs de x et y.
- Lors de l'analyse, vérifiez si les équations sont multiples ou si elles décrivent des lignes parallèles.
graph TD;
A[Équation 1] --> B[Isoler une variable]
A --> C[Utiliser la deuxième équation]
B --> D[Système résolu]
C --> D
Solutions détaillées pour chaque question
Question 1
Les équations $2x + 3y = 6$ et $4x + 6y = 12$ sont multiples, car la deuxième équation est simplement la première multipliée par 2, ce qui signifie qu'elles décrivent la même ligne. Il s'agit d'un système compatible indéterminé.
Question 2
Pour résoudre le système par substitution :
- Isolons $x$ dans la première équation : $x = 10 - y$.
- Substituons cette expression dans la deuxième équation : $2(10 - y) - y = 3$.
- Résolvons l'équation : $20 - 2y - y = 3 \implies 20 - 3y = 3 \implies -3y = -17 \implies y = \frac{17}{3}$.
- Substituons $y$ dans l'expression de $x$ : $x = 10 - \frac{17}{3} = \frac{30 - 17}{3} = \frac{13}{3}$.
Solution : $x = \frac{13}{3}, y = \frac{17}{3}$.
Question 3
Pour résoudre le système par la méthode d'élimination :
- On peut multiplier la deuxième équation par 2 pour faciliter l'élimination : $4x - 4y = -12$.
- Le système devient :
- $3x + 4y = 5$
- $4x - 4y = -12$
- Ajoutons les deux équations :
- En substituant $x = -1$ dans l'une des équations, prenons $3(-1) + 4y = 5 \implies -3 + 4y = 5 \implies 4y = 8 \implies y = 2$.
$3x + 4y + 4x - 4y = 5 - 12$
$7x = -7 \implies x = -1$.
Solution : $x = -1, y = 2$.
Question 4
Pour visualiser les équations $y = 2x + 1$ et $y = -x + 5$ sur un graphique, construisons un graphique avec Chart.js :
Question 5
Le système $x + 2y = 4$ et $2x + 4y = 8$ est aussi un système compatible indéterminé, car la deuxième équation est encore une fois un multiple de la première. Les deux équations représentent la même droite.
Points clés à retenir
- Les systèmes d'équations peuvent avoir une unique solution, aucune solution ou une infinité de solutions.
- L'utilisation de la substitution est utile lorsque l'on peut facilement isoler une variable.
- La méthode d'élimination est efficace pour des systèmes avec des coefficients compatibles.
- La représentation graphique permet de visualiser les solutions d'un système d'équations.
- Les systèmes multiples partagent les mêmes solutions, ce qui rend leur analyse importante.
- Les systèmes incompatibles sont représentés par des lignes parallèles sur un graphique.
- Les systèmes compatibles indéterminés impliquent des équations redondantes.
- La vérification des solutions trouvées dans les équations initiales est cruciale.
- Un bon choix entre substitution et élimination peut simplifier la résolution.
- Le graphique est un outil précieux pour comprendre visuellement les systèmes d'équations.
Définitions importantes
- Système d'équations : Ensemble de deux ou plusieurs équations contenant les mêmes variables.
- Équation compatible : Une équation qui possède au moins une solution.
- Équation incompatible : Une équation qui ne possède aucune solution.
- Équation indéterminée : Une équation qui a des solutions infinies.
- Substitution : Méthode qui consiste à isoler une variable dans une équation et à la substituer dans une autre équation.
- Élimination : Méthode qui supprime l'une des variables en additionnant ou en soustrayant les équations.
- Graphique : Représentation visuelle d'un système d'équations sur un plan cartésien.
- Point d'intersection : Point où deux lignes se croisent, représentant la solution d'un système d'équations.
- Coefficient : Nombre multipliant une variable dans une équation.
- Variable : Symbole représentant un nombre inconnu dans une équation.
