Exercices avancés sur les systèmes d'équations
Pour les élèves avancés, explorez une série d'exercices complexes sur les systèmes d'équations avec des solutions détaillées et corrigées.
Téléchrger le PDF Document
1. \(2x + 3y = 6\)
2. \(x - 4y = -2\)
Résoudre ce système d'équations et répondre aux questions ci-dessous :
Représentons graphiquement les équations.
Pour \(2x + 3y = 6\), isolons \(y\) : Trouvons la solution. En substituant dans les équations, nous avons :\[2x + 3(0) = 6 \Rightarrow x = 3,\]\[3 - 4y = -2 \Rightarrow y = 0.\]La solution est donc \((3, 0)\). Vérifiez en substituant. En remplaçant, nous avons :Pour \(2(3) + 3(0) = 6\) ce qui est vrai.Pour \(3 - 4(0) = -2\) ce qui est également vrai. Ce système est compatible car il a une solution unique. Si nous modifions un coefficient, cela peut changer le nombre de solutions. Par exemple, si on change\(6\) en \(8\), le système pourrait devenir incompatible. Pour le système modifié, nous résolvons comme précédemment et vérifions les solutions. Les pentes de \(2x + 3y = 6\) et \(x - 4y = -2\) sont respectivement \(m_1 = -\frac{2}{3}\) et \(m_2 = \frac{1}{4}\). Cela signifie qu'elles se croiseront car elles ont des pentes différentes. Méthode de substitution : Remplacez \(x\) ou \(y\) dans l’une des équations, puis résolvez par substitution.
Exercices avancés sur les systèmes d'équations
Considérez le système d'équations suivant :1. \(2x + 3y = 6\)
2. \(x - 4y = -2\)
Résoudre ce système d'équations et répondre aux questions ci-dessous :
- Q1 : Représentez graphiquement les deux équations.
- Q2 : Trouvez la solution du système.
- Q3 : Vérifiez votre solution en substituant dans les équations originales.
- Q4 : Quel type de système (compatible, incompatible, ou indéterminé) est-ce ?
- Q5 : Que se passe-t-il si vous modifiez un coefficient dans l'équation 1 ?
- Q6 : Recherchez d'autres solutions pour le système modifié.
- Q7 : Comparez les pentes des deux lignes.
- Q8 : Résolvez le système en utilisant la méthode de substitution.
Règles importantes pour résoudre les systèmes d'équations
- Les systèmes d'équations peuvent être résolus par substitution, élimination, ou graphiquement.
- Lorsqu’on représente graphiquement, le point d'intersection donne la solution du système.
- Pour la méthode de substitution, isolez une variable dans l’une des équations.
- Pour la méthode d'élimination, additionnez ou soustrayez les équations pour éliminer une variable.
- Un système est compatible s'il a une solution unique, incompatible s'il n'a pas de solution et indéterminé s'il a une infinité de solutions.
graph TD;
A[Système d'équations] --> B[Représentation graphique]
A --> C[Méthode de substitution]
A --> D[Méthode d'élimination]
B --> E[Point d'intersection]
C --> F[Souligner une variable]
D --> G[Simplification]
Indications pour la résolution
- Notez que chaque équation peut être représentée comme une droite dans un plan cartésien.
- Il est utile de convertir les équations en la forme \(y = mx + b\) pour obtenir rapidement la pente et l'ordonnée à l'origine.
- En utilisant la méthode de substitution, remplacez directement l'une des variables dans l'autre équation.
- Lorsque vous vérifiez votre solution, assurez-vous de substituer la solution dans chaque équation originale.
graph TD;
A[Résoudre le système] --> B[Substituer]
A --> C[Éliminer]
A --> D[Vérification]
Solutions détaillées des questions
Pour \(2x + 3y = 6\), isolons \(y\) :
\(3y = 6 - 2x \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{3}x\)
Pour \(x - 4y = -2\), isolons \(y\) :\(-4y = -2 - x \Rightarrow y = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x\)
Ques 1 : Le graphique est ci-dessous :Points clés à retenir
- Un système d'équations peut avoir une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions.
- Les méthodes de substitution et d'élimination sont essentielles pour résoudre les systèmes d'équations.
- La représentation graphique peut aider à visualiser les solutions.
- Chaque équation représente une droite dans l'espace des coordonnées.
- Vérifiez toujours vos solutions en substituant dans les équations d'origine.
- Comprendre les concepts de pentes aide à analyser le système.
- Les systèmes compatibles sont ceux qui ont au moins une solution réelle.
- Les coefficients des équations jouent un rôle crucial dans le résultat du système.
- Il est important de tester les modifications apportées aux équations initiales.
- Une bonne maîtrise des opérations sur les équations facilite la résolution des systèmes.
Définitions importantes
- Système d'équations : Un ensemble d'équations qui partagent au moins une variable.
- Solution : Une valeur ou un ensemble de valeurs qui satisfont toutes les équations du système.
- Compatible : Un système qui a au moins une solution.
- Incompatible : Un système qui n'a pas de solution.
- Indéterminé : Un système qui a une infinité de solutions.
- Méthode de substitution : Résoudre un système en isolant une variable et en la remplaçant dans l'autre équation.
- Méthode d'élimination : Résoudre un système en additionnant ou soustrayant les équations pour éliminer une variable.