Défis en mathématiques Systèmes d'équations
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Introduction aux Systèmes d'Équations
Dans cet exercice, nous allons explorer les systèmes d'équations à travers diverses questions. Résolvez les systèmes d'équations suivants :Règles et Méthodes pour Résoudre les Systèmes d'Équations
- Un système d'équations est constitué de plusieurs équations qui partagent des variables communes.
- Les méthodes pour résoudre un système incluent la substitution, l'élimination, et la méthode graphique.
- Graphiquement, un système d'équations peut avoir 0, 1 ou une infinité de solutions.
graph TD;
A[Équation 1] --> B[Équation 2]
B --> C{Solutions}
C -->|0 solution| D[Pas de points d'intersection]
C -->|1 solution| E[Un point d'intersection]
C -->|infinité des solutions| F[L'une parmi les points sur les deux droites]
Indications pour Résoudre le Système
- Identifiez les variables dans chaque équation.
- Choisissez une méthode pour résoudre, par exemple, la substitution.
- Isoler une variable dans une équation et substituer dans l'autre.
- Vérifiez toujours votre solution en la remplaçant dans les équations originales.
Corrigés Détailés des Questions
Question 1
Résoudre le système :\[\begin{cases}2x + 3y = 6 \\x - y = 1\end{cases}\]Solution :1. Résoudre la deuxième équation pour \(x\) : \[ x = y + 1 \]2. Substituer \(x\) dans la première équation : \[ 2(y + 1) + 3y = 6 \] \[ 2y + 2 + 3y = 6 \] \[ 5y + 2 = 6 \] \[ 5y = 4 \implies y = \frac{4}{5} \]3. Trouver \(x\) : \[ x = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5} \]Donc la solution est \((x, y) = \left(\frac{9}{5}, \frac{4}{5}\right)\).Question 2
Résoudre le système :\[\begin{cases}x + 2y = 7 \\2x - y = 3\end{cases}\]Solution :1. Résoudre la première équation pour \(x\) : \[ x = 7 - 2y \]2. Substituer dans la deuxième équation : \[ 2(7 - 2y) - y = 3 \] \[ 14 - 4y - y = 3 \] \[ 14 - 5y = 3 \implies -5y = -11 \implies y = \frac{11}{5} \]3. Trouver \(x\) : \[ x = 7 - 2\left(\frac{11}{5}\right) = 7 - \frac{22}{5} = \frac{35}{5} - \frac{22}{5} = \frac{13}{5} \]Donc la solution est \((x, y) = \left(\frac{13}{5}, \frac{11}{5}\right)\).Question 3
Trouver grahiquement les solutions.(Traçons les équations pour illustrer)Points Clés à Retenir
- Les systèmes d'équations sont une série d'équations avec des variables communes.
- Il existe différentes méthodes de résolution : substitution et élimination.
- Vérifier toujours la solution proposée dans les équations originales.
- Graphiquement, l'intersection des droites représente la solution du système.
- Si les droites sont parallèles, il n’y a pas de solution.
- Si les droites se superposent, il y a une infinité de solutions.
- Un système d'équations peut avoir au maximum une solution unique.
- Utiliser des graphiques pour visualiser les solutions peut être très utile.
- Développer une intuition pour les systèmes d'équations rend la résolution plus rapide.
- Les erreurs de calcul sont fréquentes, prenez soin lors des substitutions.
Définitions Clés
- Système d'Équations : Ensemble de deux ou plusieurs équations avec les mêmes variables.
- Solution : Ensemble de valeurs qui satisfont toutes les équations d'un système.
- Élimination : Méthode consistant à supprimer des variables pour simplifier un système.
- Substitution : Méthode consistant à remplacer une variable dans une équation par une expression d'une autre équation.
- Graphique : Représentation visuelle d'équations qui permet d'identifier des solutions par intersections.
