Systèmes d'équations linéaires niveau intermédiaire
Passez au niveau supérieur avec ces exercices d'un niveau intermédiaire. Renforcez vos compétences en résolution de systèmes d'équations linéaires avec des exemples concrets.
Résolution de systèmes d'équations linéaires
Pour résoudre un système d'équations linéaires, nous allons utiliser la méthode de substitution et la méthode d'élimination. Considérons le système suivant :1. \( 2x + 3y = 6 \)2. \( 4x - y = 2 \)Questions :1. Utilisez la méthode de substitution pour résoudre ce système.2. Utilisez la méthode d'élimination pour résoudre ce système.3. Représentez graphiquement les deux équations.4. Que pouvez-vous dire des solutions obtenues par les deux méthodes ?5. Que se passerait-il si une des équations était \( 2x + 3y = 7 \) ?Règles pour résoudre des systèmes d'équations linéaires
- La méthode de substitution consiste à exprimer une variable en fonction de l'autre.
- La méthode d'élimination consiste à ajouter ou soustraire des équations pour éliminer une variable.
- Les solutions d'un système d'équations linéaires peuvent être uniques, infinies ou inexistantes.
Indications pour la résolution
- Pour la substitution, isolez l'une des variables dans une équation.
- Pour l'élimination, alignez les équations et multipliez-les si nécessaire pour avoir des coefficients opposés.
- Vérifiez les solutions en les substituant dans les deux équations.
Solutions détaillées aux questions
1. Méthode de substitution :
À partir de la première équation, isolons \( y \) :
\( 3y = 6 - 2x \Rightarrow y = \frac{6 - 2x}{3} \)
Substituons cette expression dans la deuxième équation :
\( 4x - \frac{6 - 2x}{3} = 2 \)
Multipliant par 3 pour éliminer le dénominateur :
\( 12x - (6 - 2x) = 6 \Rightarrow 12x - 6 + 2x = 6 \Rightarrow 14x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \)
En substituant \( x \) dans l'expression de \( y \) :
\( y = \frac{6 - 2(\frac{6}{7})}{3} = \frac{6 - \frac{12}{7}}{3} = \frac{\frac{42 - 12}{7}}{3} = \frac{30/7}{3} = \frac{10}{7} \)
Donc, la solution est \( (x, y) = (\frac{6}{7}, \frac{10}{7}) \).
2. Méthode d'élimination :
Nous multiplions la première équation par 2 :
\( 4x + 6y = 12 \)
Nous avons ainsi le système :
\( 4x + 6y = 12 \)
\( 4x - y = 2 \)
Soustrayons la deuxième équation de la première :
\( 4x + 6y - (4x - y) = 12 - 2 \Rightarrow 7y = 10 \Rightarrow y = \frac{10}{7} \)
En substituant \( y \) dans la deuxième équation :
\( 4x - \frac{10}{7} = 2 \Rightarrow 4x = 2 + \frac{10}{7} = \frac{14 + 10}{7} = \frac{24}{7} \Rightarrow x = \frac{6}{7} \)
La solution est donc aussi \( (x, y) = (\frac{6}{7}, \frac{10}{7}) \).
3. Graphiquement :
4. Les solutions sont les mêmes car les deux méthodes doivent atteindre la même intersection.
5. Si une des équations devenait \( 2x + 3y = 7 \), cela signifierait qu'il n'y aurait pas de solution car les deux droites seraient parallèles.
Points clés à retenir
- La méthode de substitution est efficace pour isoler des variables.
- La méthode d’élimination est utile lorsque les coefficients sont facilement manipulables.
- Il est crucial de vérifier les solutions.
- Les systèmes peuvent avoir zéro, une ou plusieurs solutions.
- Représenter graphiquement aide à visualiser les intersections.
- Les droites parallèles suggèrent des systèmes sans solution.
- Les droites superposées indiquent une infinité de solutions.
- Une équation d’une droite est souvent une relation linéaire.
- S’assurer que les calculs sont vérifiés pour éviter les erreurs.
- Prendre des notes aide dans la compréhension du thème.
Définitions importantes
- Système d'équations : Ensemble d'équations qui peuvent être résolues simultanément.
- Méthode de substitution : Technique consistant à exprimer une variable en fonction d'une autre et substituer.
- Méthode d'élimination : Technique visant à combiner des équations afin d'éliminer une variable.
- Solutions : Valeurs qui satisfont toutes les équations du système.
- Graphique : Représentation visuelle des équations permettant de trouver les intersections.
