Résolution de systèmes d'équations difficiles
Défiez-vous avec ces exercices corrigés sur les systèmes d'équations linéaires complexes. Idéal pour les lycéens préparant des examens.
Résolution de Systèmes d'Équations Linéaires
Énoncé de l'exercice : Considérons le système d'équations suivant :\[\begin{align*}1) & \quad 2x + 3y = 6 \\2) & \quad 4x - y = 11 \\\end{align*}\]À partir de ce système, répondez aux questions suivantes :- 1. Calculez les valeurs de \( x \) et \( y \).
- 2. Vérifiez votre solution.
- 3. Reformulez le système avec une variable exprimée en fonction de l'autre.
- 4. Trouvez l'équation de la droite représentée par la première équation.
- 5. Tracez les deux équations sur un même graphique.
- 6. Déterminez le point d'intersection graphique.
- 7. Discutez de l'unicité de la solution.
- 8. Établissez une conclusion sur le type de système rencontré.
Règles pour la Résolution de Systèmes d'Équations Linéaires
- Substitution : isolez une variable dans une équation puis substituez-la dans l'autre.
- Élimination : additionnez ou soustrayez les équations pour éliminer une variable.
- Graphique : représentez graphiquement les équations pour visualiser les solutions.
- Interprétation : vérifiez toujours la solution trouvée.
Indications pour la Résolution
- Commencez par exprimer une variable en fonction de l'autre.
- Utilisez la méthode de substitution pour résoudre.
- Vérifiez les résultats en les substituant dans les équations originales.
- Tracez un graphique pour visualiser le système d'équations.
Solutions Détailées pour Chaque Question
1. Nous devons résoudre le système d'équations :
Pour la première équation, isolons \( y \):\[3y = 6 - 2x \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{3}x\]Substituons cette expression de \( y \) dans la deuxième équation :\[4x - (2 - \frac{2}{3}x) = 11\]
Ce qui donne :
\[4x - 2 + \frac{2}{3}x = 11\]En multipliant par 3 pour éliminer le dénominateur :\[12x - 6 + 2x = 33 \Rightarrow 14x = 39 \Rightarrow x = \frac{39}{14}\]2. Pour maintenant trouver \( y \), substituons \( x \) dans l'équation exprimée pour \( y \) :
\[y = 2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{39}{14}\]\[y = 2 - \frac{78}{42} = 2 - \frac{13}{7} = \frac{14}{7} - \frac{13}{7} = \frac{1}{7}\]Les solutions sont donc \( x = \frac{39}{14} \) et \( y = \frac{1}{7} \).
3. Le système peut être reformulé comme \( y = 2 - \frac{2}{3}x \) pour la première équation.
4. L'équation de la droite de la première équation est \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \).
5. Graphique des deux équations :
6. Le point d'intersection de ces graphiques représente notre solution, soit \((\frac{39}{14}, \frac{1}{7})\).
7. En examinant les pentes et les intersections, nous concluons qu'il s'agit d'un système d'équations linéaires avec une unique solution.
8. Ce système est donc compatible et déterminé.
Points Clés à Retenir
- Utiliser la méthode de substitution ou d'élimination selon le système.
- Vérifier toujours vos solutions dans les équations originales.
- Transformer les équations en formes explicites pour faciliter l'analyse.
- Tracer les graphes aide à voir visuellement les solutions.
- Un système peut être compatible avec une ou plusieurs solutions, ou sans solution.
- Les coefficients des équations influencent leur pente et donc leur intersection.
- Préférer les valeurs simples pour une substitution rapide.
- Acquérir une bonne maîtrise de la manipulation algébrique.
- Utiliser des outils graphiques pour affiner la compréhension.
- La pratique est essentielle pour maîtriser ce type de problème.
Définitions Importantes
- Système d'équations : ensemble de plusieurs équations contenant les mêmes variables.
- Variable : symbole représentant un nombre dont la valeur est inconnue.
- Équation linéaire : équation qui peut être représentée par une droite dans un plan cartésien.
- Solution : ensemble des valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système.
- Compatible : système qui possède au moins une solution.
- Déterminé : système qui a une seule solution.
- Indéterminé : système ayant une infinité de solutions.
- Incompatible : système sans solution.
- Pente : mesure de l'inclinaison d'une droite, indiquant le changement de \( y \) par rapport à \( x \).
- Ordonnée à l'origine : point où une droite croise l'axe des ordonnées (l'axe vertical).