Techniques avancées pour résoudre des systèmes d'équations
Maîtrisez des techniques avancées en résolvant des systèmes d'équations linéaires complexes. Parfait pour les étudiants cherchant à approfondir leurs connaissances.
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Techniques avancées pour résoudre des systèmes d'équations
Cet exercice aborde des techniques avancées pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Vous devrez utiliser des méthodes algébriques ainsi que graphiques pour trouver des solutions. Voici les questions auxquelles vous devrez répondre :- Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de substitution :
- Résoudre le même système par la méthode d'élimination :
- Représenter graphiquement les deux équations et déterminer les points d'intersection :
- Vérifier graphiquement la solution trouvée :
- Considérer le cas où le système aurait une solution infinie : que se passe-t-il ?
- Considérer le cas où le système est indéterminé. Que signifie cela ?
- Proposer un système d'équations ayant une solution unique et décrivez-le.
Règles et Méthodes
- La méthode de substitution consiste à isoler une variable dans l'une des équations et à substituer cette variable dans l'autre équation.
- La méthode d'élimination consiste à aligner les équations pour annuler une variable à travers l'addition ou la soustraction des équations.
- Une solution unique existe lorsque les deux droites se croisent en un point.
- Une solution infinie existe lorsque les deux équations représentent la même droite.
- Aucune solution existe lorsque les équations représentent des droites parallèles.
Indications pour résolutions
- Identifiez les coefficients des variables dans les équations.
- Commencez par utiliser la méthode qui vous semble la plus simple.
- Vérifiez vos solutions en substituant les valeurs dans les équations originales.
- Représentez les équations graphiquement pour une meilleure compréhension.
graph TD; A[Équations] --> B[Choix de la méthode] B --> C[Substitution] B --> D[Élimination] C --> E[Résoudre] D --> E E --> F[Solution trouvée] F --> G[Vérification]
Solutions Détailées
- Pour résoudre le système suivant par substitution :\[\begin{cases}y = 2x + 3 \\y = -x + 1\end{cases}\]1. Isoler \(y\) dans la première équation : \(y = 2x + 3\).2. Substituer \(y\) dans la deuxième équation : \(-x + 1 = 2x + 3\).3. Résoudre : \(-x - 2x = 3 - 1 \Rightarrow -3x = 2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\).4. Trouver \(y\) en substituant dans \(y = -x + 1\) : \(y = -\left(-\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}\). Donc, la solution est \(x = -\frac{2}{3}\), \(y = \frac{5}{3}\).
- Pour la méthode d'élimination, additionnons les équations de la même manière :1. Multiplier la deuxième équation par 2 pour faciliter l'élimination :\[\begin{cases}y = 2x + 3 \\2y + 2x = 2\end{cases}\]2. Ajoutons les deux équations :\[2x + 3 = -2x + 2 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}.\]Résolvons pour \(y\) avec cette valeur.
- Pour la représentation graphique, vous pouvez utiliser un graphique interactif. Créez un graphique pour les deux équations et tracez les lignes :\[y = 2x + 3 \\y = -x + 1 \]Utilisez Chart.js pour créer le graphique.
- Pour vérifier la solution : substituez les valeurs de la solution dans les équations d'origine pour voir si elles sont vraies.
- Pour un cas de solution infinie : si nous avons \(2x + 6 = 2x + 6\). Les deux équations sont identiques.
- Un système indéterminé existe lorsqu'il n'y a pas de solution unique, donc plusieurs solutions sont possibles.
- Ex. un système ayant une solution unique peut être défini par :\[\begin{cases}x + y = 3 \\x - y = 1\end{cases}\]Résolvez ce système en utilisant l'une des méthodes.
Points Clés à Retenir
- Il existe plusieurs techniques pour résoudre des systèmes d'équations.
- La méthode de substitution est utile lorsque l'une des équations est facilement isolable.
- La méthode d'élimination est efficace pour annuler une variable.
- Les droites représentant les équations peuvent être graphées pour visualiser les solutions.
- Les systèmes d'équations peuvent avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
Définitions clés
- Système d'équations linéaires : Ensemble de deux ou plusieurs équations linéaires avec les mêmes variables.
- Solution : Ensemble de valeurs qui satisfont toutes les équations d'un système.
- Élimination : Technique pour résoudre un système d'équations en faisant disparaître une variable.
- Substitution : Technique qui consiste à remplacer une variable par une expression équivalente.
- Graphique : Représentation visuelle des équations sur un plan cartésien.