Applications pratiques des systèmes d'équations linéaires
Découvrez comment les systèmes d'équations linéaires s'appliquent dans des situations réelles avec ces exercices pratiques et corrigés.
Applications Pratiques des Systèmes d'Équations Linéaires
Ce problème aborde des applications pratiques des systèmes d'équations linéaires dans des scénarios réels, tels que la planification d'un budget, le mélange de solutions, et des mouvements de véhicules. Répondez aux questions suivantes :1. Un commerce achète deux types de fruits. Les pommes coûtent 3€ le kilogramme et les bananes 2€ le kilogramme. Si le commerce achète 10 kg de fruits pour 26€, combien de kilogrammes de chaque fruit a-t-il acheté ?2. Un train part d'une ville A à une vitesse de 60 km/h et d'une ville B à 80 km/h. Les deux trains se dirigent l'un vers l'autre. À quelle distance de la ville A se rencontreront-ils si la distance entre A et B est de 280 km ?3. Une personne investit un montant en fonds A à 5% et un autre montant en fonds B à 7%. Si le capital total est de 12,000€ et le revenu total est de 740€, combien a-t-il investi dans chaque fonds ?4. Dans un mélange de deux solutions chimiques, on a un liquide à 20% d'alcool et un autre à 50%. Si on mélange 3 litres de la première solution avec 2 litres de la deuxième, quel sera le pourcentage d'alcool dans la solution finale ?5. Une entreprise fabrique des gadgets. Le coût de production d'un gadget est de 15€, et le coût de vente est de 25€. Si l'entreprise veut réaliser un bénéfice de 2000€, combien de gadgets doit-elle vendre ?Règles et Méthodes pour Résoudre les Systèmes d'Équations
- Identifier le nombre d'inconnues et d'équations.
- Utiliser la méthode de substitution ou d'élimination pour résoudre les équations.
- Vérifier les solutions en les substituant dans les équations originales.
- Représenter graphiquement les équations pour visualiser les solutions.
- Utiliser les propriétés des égalités pour manipuler les équations.
Indications pour la Résolution des Exercices
- Utiliser des graphiques pour visualiser la situation (graphes de lignes, intersections).
- Écrire les équations clairement avant de commencer à résoudre.
- Prendre le temps de bien comprendre le contexte du problème.
- Déterminer la méthode la plus simple pour résoudre le problème.
- Vérifier chaque étape pour éviter les erreurs de calcul.
Solutions Détaillées des Questions
1. Soit x le nombre de kg de pommes, et y le nombre de kg de bananes. On a :
\[\begin{cases}x + y = 10 \\3x + 2y = 26\end{cases}\]
En isolant y dans la première équation : \( y = 10 - x \). Ensuite, substituons dans la deuxième équation :
\[3x + 2(10 - x) = 26 \\3x + 20 - 2x = 26 \\x = 6\text{ kg de pommes} \Rightarrow y = 4\text{ kg de bananes}\]
2. Soit d la distance parcourue. On a :
\[\begin{cases}d_{A} + d_{B} = 280 \\d_{A} = 60t \\d_{B} = 80t\end{cases}\]
En exprimant d : \( 60t + 80t = 280 \Rightarrow d = 280/140 = 2 \) heures.
Distance de la ville A : \( 60 \times 2 = 120 \text{ km} \)
3. Soit x le montant investi dans le fonds A et y le montant dans le fonds B :
\[\begin{cases}x + y = 12000 \\0.05x + 0.07y = 740\end{cases}\]
En remplaçant y : \( y = 12000 - x \) dans la deuxième équation :
\[0.05x + 0.07(12000 - x) = 740 \Rightarrow 0.05x + 840 - 0.07x = 740 \Rightarrow -0.02x = -100 \Rightarrow x = 5000\]
Alors \( y = 7000 \)
4. Pour le mélange, soit \( x \) la quantité d'alcool dans le mélange :
\[\begin{cases}0.2 \times 3 + 0.5 \times 2 = x \\x / 5 = \text{ pourcentage d'alcool}\end{cases}\]
Alcohol = \( 0.6 + 1 = 1.6\) L, donc \( \text{pourcentage} = (1.6/5) \times 100 = 32\%\)
5. Soit q le nombre de gadgets à vendre :
\[\begin{cases}15q - 25q = -2000\end{cases} \Rightarrow 10q = 2000 \Rightarrow q = 200\]
Points Clés à Retenir
- Un système d'équations peut être résolu par substitution ou élimination.
- Les coefficients des variables doivent être manipulés soigneusement.
- Graphiquement, la solution des équations représente l'intersection des lignes.
- Vérifiez toujours les solutions par substitution.
- Une compréhension claire du problème aide à choisir la bonne méthode.
- La représentation graphique peut simplifier la compréhension.
- Un équilibre dans la formulation équationnelle est essentiel.
- Les applications concrètes rendent les équations plus pertinentes.
- Les erreurs de calcul doivent être minimisées par des vérifications.
- Connaître ses opérations de base facilite la résolution.
Définitions Utiles
- Système d'Équations Linéaires : Ensemble d'équations linéaires impliquant les mêmes variables.
- Équation Linéaire : Équation présentant une relation linéaire entre deux variables.
- Substitution : Méthode consistant à remplacer une variable par une autre.
- Élimination : Méthode consistant à soustraire ou additionner les équations pour éliminer variables.
- Interactions Graphiques : Point où les graphes de deux équations se croisent, représentant la solution.