Problèmes complexes sur les systèmes d'équations linéaires
Mettez vos compétences à l'épreuve avec ces problèmes complexes de systèmes d'équations linéaires, corrigés pour aider à la compréhension.
Résolution de systèmes d'équations linéaires complexes
Un fermier souhaite déterminer la quantité de deux types de cultures à planter sur son terrain. Soit \( x \) le nombre d'hectares de blé, et \( y \) le nombre d'hectares de maïs. Il a la contrainte suivante : \[ \begin{cases} x + y \leq 100 \quad \text{(surface totale)}\\ 2x + 3y \leq 300 \quad \text{(coût des semences)} \end{cases} \] Le fermier souhaite maximiser ses profits, qui se modélisent par : \[ P = 5x + 3y \]Règles fondamentales pour résoudre les systèmes d'équations
- Identifier les variables et les équations du système.
- Établir les inégalités selon les contraintes du problème.
- Utiliser la méthode graphique ou l'algèbre pour trouver les solutions.
- Maximiser ou minimiser l'objectif selon les valeurs des variables.
graph TD;
A[Début] --> B[Identifier les variables];
B --> C[Établir les équations];
C --> D[Utiliser méthode graphique];
D --> E[Analyser le résultat];
E --> F[Fin];
Indications pratiques pour la résolution
- Tracez les lignes correspondant aux équations sur un graphique.
- Identifiez la zone de solutions possibles.
- Calculez les valeurs de \( P \) aux sommets de la région.
graph TD;
A[Commencer avec les équations] --> B[Tracer les lignes];
B --> C[Identifier la région faisable];
C --> D[Calculer P aux sommets];
D --> E[Déterminer le maximum];
Solutions détaillées
Question 1
Pour résoudre le système graphique, tracons les équations : - L'inéquation \( x + y = 100 \) peut être réarrangée en \( y = 100 - x \). - L'inéquation \( 2x + 3y = 300 \) peut être réarrangée en \( y = \frac{300 - 2x}{3} \). Tracer ces deux équations sur un graphique aide à identifier la zone faisable.Question 2
Après avoir tracé les lignes, la zone faisable est délimitée. Les sommets de la région sont : 1. \( (0, 100) \) 2. \( (100, 0) \) 3. \( (75, 50) \) (point d'intersection des deux lignes) Pour déterminer le profit maximum : - \( P(0, 100) = 5(0) + 3(100) = 300 \) - \( P(100, 0) = 5(100) + 3(0) = 500 \) - \( P(75, 50) = 5(75) + 3(50) = 375 \) Ainsi, le profit maximal est de \( 500 \) à \( (100, 0) \).Question 3
La solution optimale pour la quantité de cultures est donc : \( x = 100 \) hectares de blé, \( y = 0 \) hectares de maïs.Question 4
Vérifions si cette solution respecte les contraintes : - \( x + y = 100 \) : \( 100 + 0 = 100 \) (Satisfait) - \( 2(100) + 3(0) = 200 \) (Satisfait). La solution est alors correcte.Points clés à retenir
- Identification claire des variables et des contraintes.
- Utilisation efficace de méthodes graphiques.
- Localisation précise de la zone faisable.
- Calcul minutieux des profits ou coûts associés.
- Vérification systématique des solutions trouvées.
- Importance d'une bonne représentation graphique.
- Maximiser le profit nécessite d'explorer tous les sommets.
- Les inégalités doivent être respectées à tout moment.
- Interpréter les résultats dans le cadre du problème initial.
- Utiliser différents outils mathématiques pour solidifier la compréhension.
Définitions clés
- Système d'équations linéaires : Ensemble d'équations à plusieurs variables qui doivent être satisfaites simultanément.
- Zone faisable : Ensemble des solutions qui respecte toutes les contraintes d'un problème de programmation linéaire.
- Maximum / Minimum : Valeur la plus élevée ou la plus basse d'une fonction objective dans le contexte d'un problème donné.
- Graphique des équations : Représentation visuelle des équations sur un plan cartésien.
- Profit : Différence entre les revenus obtenus et les coûts engagés, souvent maximisée dans des problèmes économiques.
