Exercices corrigés sur systèmes à 2 variables niveau facile
Découvrez des exercices corrigés simples sur les systèmes d'équations à deux variables pour renforcer vos compétences en mathématiques au lycée et au collège.
Exercices sur les systèmes d'équations à 2 variables
Énoncé : Résoudre les systèmes d'équations suivants et en déduire les solutions.1. \(2x + 3y = 6\)
2. \(x - y = 2\)
3. \(4x + 2y = 8\)
4. \(x + 5y = 15\)
Règles de résolution des systèmes d'équations
- Règle de substitution : résoudre une équation pour une variable et substituer dans l'autre.
- Règle d'élimination : additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
- Règle graphique : tracer les équations sur un graphique pour visualiser les solutions.
- Les solutions peuvent être uniques, infinies ou inexistantes.
Indications pour résoudre les systèmes
- Pour la méthode de substitution, isolez \(y\) dans la première équation.
- Pour la méthode d'élimination, multipliez les équations pour avoir des coefficients identiques.
- Utilisez un tableau ou un graphique pour organiser les informations.
Solutions détaillées des exercices
1. Pour \(2x + 3y = 6\) et \(x - y = 2\):
Isolons \(y\) dans la seconde équation: \(y = x - 2\).
Substituons \(y\) dans la première équation:
\(2x + 3(x - 2) = 6\).
Calculons:
\(2x + 3x - 6 = 6\)
\(5x - 6 = 6\)
\(5x = 12\)
\(x = \frac{12}{5}\)
Remplaçons \(x\) pour trouver \(y\):
\(y = \frac{12}{5} - 2 = \frac{2}{5}\).
Ainsi, la solution est \(\left(\frac{12}{5}, \frac{2}{5}\right)\).
2. Pour \(4x + 2y = 8\):
Divisons par 2: \(2x + y = 4\). Avec \(x - y = 2\):
Isolez \(y\) dans \(x - y = 2\): \(y = x - 2\).
Substituons dans \(2x + (x - 2) = 4\):
\(3x - 2 = 4\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
Remplaçons pour \(y\):
\(y = 0\).
La solution est \((2, 0)\).
3. Pour \(x + 5y = 15\):
\(y = \frac{15 - x}{5}\). Considérons le graphique pour déterminer la solution.
Graphiquement, l'intersection des deux équations donne la solution.
4. En représentant graphiquement toutes les solutions, utilisez Chart.js pour visualiser les lignes.
Points clés sur les systèmes d'équations
- Identifier le type de système (compatible, incompatible, indéterminé).
- Utiliser la méthode la plus adaptée (substitution ou élimination).
- Vérifier les solutions trouvées.
- Représenter graphiquement si nécessaire.
- Interpréter les résultats selon le contexte.
- Les équations peuvent être parallèles, se croiser, ou se superposer.
- Utiliser des angles droits pour simplifier la résolution.
- Réaliser des changements de variable pour simplifier le calcul.
- Les systèmes peuvent être résolus par des méthodes algébriques ou graphiques.
- S'assurer que les unités sont homogènes lors des calculs.
Définitions des termes utilisés
- Système d'équations : ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément.
- Variables : inconnues dans les équations (par exemple, \(x\) et \(y\)).
- Solution : valeurs des variables qui satisfont toutes les équations d'un système.
- Compatible : système ayant au moins une solution.
- Incompatible : système n'ayant aucune solution.
- Indéterminé : système ayant une infinité de solutions.
- Élimination : méthode consistant à supprimer une variable pour simplifier le système.
- Substitution : méthode consistant à exprimer une variable en fonction de l'autre.
- Représentation graphique : visualisation des équations sur un plan cartésien.
- Coefficients : numéros multiplicateurs des variables dans les équations.