Exercices de systèmes à 2 variables appliqués et corrigés
Explorez des exercices appliqués de systèmes d'équations à deux variables avec des corrigés détaillés pour mieux comprendre les concepts mathématiques.
Exercices de systèmes à deux variables appliqués
Résoudre les systèmes suivants où les variables représentent des quantités physiques ou économiques. Chaque question implique des calculs qui peuvent être appliqués à des problèmes réels.1. Résoudre le système suivant : \[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases} \]2. Déterminez les valeurs de \(x\) et \(y\) pour le système : \[ \begin{cases} x + 2y = 10 \\ 3x - y = 5 \end{cases} \]3. Appliquer les méthodes de substitution pour résoudre : \[ \begin{cases} 4x - y = 2 \\ 2x + y = 9 \end{cases} \]4. Trouver \(x\) et \(y\) dans le système suivant : \[ \begin{cases} x + y = 8 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \]5. Dans un problème de budget, si un produit \(A\) coûte 5 euros et un produit \(B\) coûte 4 euros, résolvez : \[ \begin{cases} 5a + 4b = 40 \\ a + b = 10 \end{cases} \]6. Un producteur de fruits vend des pommes (\(x\)) et des oranges (\(y\)). Les revenus sont donnés par : \[ \begin{cases} x + 3y = 30 \\ 2x + y = 20 \end{cases} \]Règles de résolution de systèmes d'équations à deux variables
- Une équation de deux variables peut être représentée graphiquement comme une ligne droite.
- Le point d'intersection des deux lignes représente la solution du système.
- Les méthodes de résolution incluent la substitution, l'élimination et la méthode graphique.
- Pour la méthode de substitution, exprimez une variable en fonction de l'autre.
- La méthode d'élimination consiste à ajouter ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
- Vérifiez la solution en substituant les valeurs trouvées dans les deux équations.
Indications pour résoudre les systèmes d'équations
- Identifiez les deux équations du système.
- Choisissez la méthode de résolution (substitution ou élimination).
- Pour la substitution, isolez une variable.
- Pour l'élimination, alignez les équations pour faciliter les opérations.
- Après avoir trouvé les valeurs, substituez-les pour vérifier l'exactitude.
- Représentez les équations dans un graphique pour visualiser les solutions.
Solutions détaillées des exercices
1. Résolvons le système :
\[\begin{cases}2x + 3y = 12 \quad (1) \\x - y = 1 \quad (2)\end{cases}\]
D'abord, on isole \(x\) dans l'équation (2) :
\[x = y + 1\]Pour substituer \(x\) dans (1) :
\[2(y + 1) + 3y = 12 \\2y + 2 + 3y = 12 \\5y + 2 = 12 \\5y = 10 \\y = 2\]Ensuite, substituons \(y\) pour obtenir \(x\) :
\[x = 2 + 1 = 3\]Solution : \(x = 3\), \(y = 2\).
2. Résolvons le système :
\[\begin{cases}x + 2y = 10 \quad (1) \\3x - y = 5 \quad (2)\end{cases}\]
Isolons \(x\) dans (1) :
\[x = 10 - 2y\]Substituons dans (2) :
\[3(10 - 2y) - y = 5 \\30 - 6y - y = 5 \\30 - 7y = 5 \\-7y = -25 \\y = \frac{25}{7}\]Substituons pour \(x\) :
\[x = 10 - 2\left(\frac{25}{7}\right) = \frac{70}{7} - \frac{50}{7} = \frac{20}{7}\]Solution : \(x = \frac{20}{7}\), \(y = \frac{25}{7}\).
3. Résolvons avec substitution :
\[\begin{cases}4x - y = 2 \quad (1) \\2x + y = 9 \quad (2)\end{cases}\]
De (2), isolez \(y\) :
\[y = 9 - 2x\]Substituons dans (1) :
\[4x - (9 - 2x) = 2 \\4x + 2x - 9 = 2 \\6x = 11 \\x = \frac{11}{6}\]Pour \(y\) :
\[y = 9 - 2\left(\frac{11}{6}\right) = 9 - \frac{22}{6} = \frac{54}{6} - \frac{22}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}\]Solution : \(x = \frac{11}{6}\), \(y = \frac{16}{3}\).
4. Résolvons :
\[\begin{cases}x + y = 8 \quad (1) \\3x - 2y = 1 \quad (2)\end{cases}\]
De (1), isolez \(y\) :
\[y = 8 - x\]Substituons dans (2) :
\[3x - 2(8 - x) = 1 \\3x - 16 + 2x = 1 \\5x = 17 \\x = \frac{17}{5}\]Pour \(y\) :
\[y = 8 - \frac{17}{5} = \frac{40}{5} - \frac{17}{5} = \frac{23}{5}\]Solution : \(x = \frac{17}{5}\), \(y = \frac{23}{5}\).
5. Résolvons le problème de budget :
\[\begin{cases}5a + 4b = 40 \quad (1) \\a + b = 10 \quad (2)\end{cases}\]
De (2), isolez \(b\) :
\[b = 10 - a\]Substituons dans (1) :
\[5a + 4(10 - a) = 40 \\5a + 40 - 4a = 40 \\a = 0\]Pour \(b\) :
\[b = 10 - 0 = 10\]Solution : \(a = 0\), \(b = 10\).
6. Résolvons le système de revenus :
\[\begin{cases}x + 3y = 30 \quad (1) \\2x + y = 20 \quad (2)\end{cases}\]
De (2), isolez \(y\) :
\[y = 20 - 2x\]Substituons dans (1) :
\[x + 3(20 - 2x) = 30 \\x + 60 - 6x = 30 \\-5x = -30 \\x = 6\]Pour \(y\) :
\[y = 20 - 2(6) = 20 - 12 = 8\]Solution : \(x = 6\), \(y = 8\).
Points clés à retenir sur les systèmes d'équations à deux variables
- Un système peut avoir une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.
- Graphiquement, deux lignes peuvent se croiser, être parallèles ou être identiques.
- La substitution est utile lorsque l'une des équations est facilement isolable.
- L'élimination est plus rapide lorsque les coefficients sont simples.
- Toujours vérifier les solutions dans les deux équations.
- Utiliser des représentations graphiques pour mieux comprendre les relations entre les variables.
- Les systèmes d'équations peuvent modéliser des situations réelles comme la gestion de budget.
- Il est utile d'apprendre à transformer et manipuler les équations avant de résoudre.
- L'utilisation d'outils numériques peut faciliter la visualisation des solutions.
- S'assurer que les unités de mesure sont cohérentes lorsque vous travaillez avec des applications pratiques.
Définitions de termes utilisés dans les systèmes d'équations
- Système d'équations : Ensemble d'équations partageant les mêmes variables.
- Solution : Ensemble de valeurs pour les variables qui vérifient toutes les équations du système.
- Substitution : Méthode consistant à remplacer une variable par une expression équivalente d'une autre équation.
- Élimination : Méthode consistant à combiner des équations pour réduire le nombre de variables.
- Graphique : Représentation visuelle d'un ou plusieurs équations sur un plan cartésien.
- Coefficient : Nombre devant une variable dans une équation.
