Systèmes d'équations à deux variables exercices avancés corrigés
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Systèmes d'équations à deux variables : Exercices avancés
Dans cet exercice, vous allez résoudre des systèmes d'équations à deux variables à l'aide de différentes méthodes.
- Question 1 : Résoudre le système suivant par substitution :
- $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$
- Question 2 : Résoudre le système suivant par élimination :
- $\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ x - y = 1 \end{cases}$
- Question 3 : Déterminer graphiquement les solutions du système suivant :
- $\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 5 \end{cases}$
- Question 4 : Vérifier si le point $(2, 3)$ est une solution du système :
- $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - 3y = -1 \end{cases}$
- Question 5 : Résoudre le système suivant à l'aide de matrices :
- $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x + y = 11 \end{cases}$
- Question 6 : Trouver les solutions du système à partir du déterminant :
- $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$
- Question 7 : Déterminer si le système a une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions :
- $\begin{cases} 2x + 4y = 8 \\ x + 2y = 6 \end{cases}$
- Question 8 : Résoudre le système suivant en utilisant la forme canonique :
- $\begin{cases} x = 3t + 2 \\ y = -t + 1 \end{cases}, \text{ avec } t \in \mathbb{R}$
Règles et méthodes pour résoudre les systèmes d'équations
- Substitution : Résoudre une équation pour une variable et substituer dans l'autre.
- Élimination : Multiplier les équations pour éliminer une variable.
- Graphique : Représenter les équations sur un graphique pour visualiser les solutions.
- Matrices : Utiliser des matrices pour résoudre le système par la méthode de Gauss.
- Détail de solution : Vérifier chaque solution par substitution.
- Forme canonique : Analyser les solutions paramétriques.
Conseils pour résoudre des systèmes d'équations
- Identifiez les variables et les coefficients.
- Choisissez la méthode la plus simple en fonction du système.
- Utilisez des dessins pour comprendre les intersections.
- Vérifiez vos solutions en les remplaçant dans les équations initiales.
- Soyez attentif aux incohérences qui peuvent indiquer qu'un système est incompatible.
Solutions détaillées des questions
Question 1
Pour résoudre le système :
$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$
On résout la première équation pour x :
$x = 8 - 2y$
On substitue $x$ dans la seconde équation :
$2(8 - 2y) - y = 3$
Ce qui donne : $16 - 4y - y = 3$ soit $16 - 5y = 3$.
Alors, $-5y = 3 - 16 = -13$, donc $y = \frac{13}{5} = 2.6$.
En substituant $y$ dans l'équation pour $x$ : $x = 8 - 2(2.6) = 2.8$.
La solution est $(x, y) = (2.8, 2.6)$.
Question 2
Pour le système :
$\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ x - y = 1 \end{cases}$
On multiplie la seconde équation par 4 :
Nous obtenons :
$4x - 4y = 4$
Ajoutons maintenant cette équation à la première :
$3x + 4y + 4x - 4y = 10 + 4$
Ce qui donne : $7x = 14$, donc $x = 2$.
Substituons $x$ dans l'équation $x-y=1$ :
$2 - y = 1$, donc $y = 1$.
La solution est $(2, 1)$.
Points clés à retenir
- Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des systèmes : substitution, élimination, graphique.
- Vérifiez toujours vos solutions.
- Un système peut avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
- Représenter graphiquement les équations aide à visualiser les solutions.
- Utiliser des matrices pour simplifier le processus de résolution.
- Les systèmes linéaires sont toujours représentables par des droites dans le plan.
- La consistance du système peut être évaluée par le déterminant des coefficients.
- Avoir une méthode de vérification est essentiel.
- Les équations en fonction d'un paramètre peuvent avoir des solutions variables.
- Comprendre chaque méthode permet de choisir la meilleure pour chaque problème.
Définitions et terminologie
- Système d'équations : Ensemble d'équations partageant des variables communes.
- Solution d'un système : Ensemble des valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système.
- Consistance : Un système est dit consistant s'il a au moins une solution.
- Déterminant : Valeur calculée à partir d'une matrice qui aide à déterminer la nature du système.
- Équation linéaire : Équation qui peut être représentée par une droite dans un plan.