Exercices faciles sur les systèmes à trois variables
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Exercices sur les systèmes à trois variables
Considérez le système d'équations suivant :1) \(x + 2y + z = 4\)
2) \(2x - y + 3z = 7\)
3) \(3x + y - z = 1\)
Répondez aux questions suivantes :
1) Résoudre le système d'équations.
2) Déterminer le rang du système.
3) Expliquer si les solutions sont uniques, infinies, ou inexistantes.
4) Représenter graphiquement le système à l'aide d'un graphique 3D.
5) Modifier une équation pour obtenir un système compatible et résoudre-le.
6) Expliquer les implications de la modification de l'équation.
7) Identifier une méthode alternative pour résoudre le système (ex. méthode de substitution ou d'élimination).
Règles et méthodes pour résoudre les systèmes d'équations
- La méthode de substitution consiste à isoler une variable et à la remplacer dans les autres équations.
- La méthode d'élimination additionne ou soustrait des équations pour éliminer une variable.
- Le tableau des coefficients aide à visualiser le rang d'un système.
- Un système est compatible si au moins une solution existe.
- Le rang d'un système correspond au nombre de lignes non nulles des équations après simplification.
Indications pour la résolution des systèmes
- Utilisez un graphique 3D pour visualiser les planes formées par les équations.
- Notez les intersections entre les planes, elles représentent les solutions.
- Calculez les déterminants pour analyser la compatibilité.
- Si deux équations sont identiques, le rang est réduit.
- Représentez chaque équation en fonction des deux autres pour faciliter la compréhension.
Solutions détaillées aux questions
1) Pour résoudre le système, nous pouvons utiliser la méthode d'élimination. On peut commencer par écrire les équations sous forme matricielle :
\[\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\2 & -1 & 3 \\3 & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\7 \\1\end{pmatrix}\]
Nous allons appliquer l'élimination pour obtenir une forme échelonnée. Cela nous donnera une solution que nous pourrons résoudre.
2) Calculez le rang de la matrice. En réduisant la matrice, nous pouvons voir que le rang est égal à 3, donc le système est de rang complet.
3) Puisque le rang est égal au nombre de variables, la solution est unique.
4) Graphiquement, nous pouvons considérer que chaque équation représente un plan dans l'espace. La solution unique sera la seule intersection de ces trois plans.
5) Si nous modifions l'une des équations, par exemple : \(2x - y + 3z = 8\), nous devons résoudre le nouveau système. Une approche consistant à appliquer la méthode d’élimination ou de substitution est appropriée.
6) La modification d'une équation peut changer le rang et peut rendre le système soit compatible, soit incompatible en fonction des valeurs.
7) Une méthode alternative pour résoudre le système est la substitution. Par exemple, isolez \(z\) dans la première équation et remplacez-le dans les autres.
Points clés à retenir
- Un système a une solution unique lorsque le rang est égal au nombre de variables.
- La méthode d'élimination et la substitution sont des approches populaires.
- Utilisez des représentations graphiques pour mieux comprendre les relations.
- Les équations identiques ou multiples influencent le rang du système.
- Les systèmes peuvent être incompatibles si aucune intersection n'existe.
- Le rang doit être vérifié à chaque étage de simplification.
- Les solutions peuvent être trouvées par différentes méthodes.
- La détermination de la compatibilité est cruciale.
- Les systèmes peuvent aussi avoir une infinité de solutions.
- Revoir les concepts de géométrie des équations est essentiel.
Définitions des termes utilisés
- Système d'équations : Ensemble d'équations ayant des variables communes.
- Rang d'un système : Nombre de lignes non nulles dans une matrice réduite.
- Compatible : Un système est dit compatible s'il possède au moins une solution.
- Incompatible : Un système est incompatible s'il ne possède aucune solution.
- Plan : Représentation géométrique d'une équation à trois variables.