Pratique avancée systèmes d'équations à trois inconnues
Exercez-vous avec des systèmes d'équations à trois inconnues grâce à nos exercices avancés corrigés, conçus pour les élèves du lycée.
Exercice sur les systèmes d'équations à trois inconnues
Dans cet exercice, nous allons résoudre un système de trois équations à trois inconnues. Les équations sont les suivantes :1. \(2x + 3y - z = 1\)2. \(-x + 4y + 5z = 27\)3. \(3x + y + 2z = 3\)Répondez aux questions suivantes :
Règles de résolution des systèmes d'équations
- Utiliser la méthode de substitution ou d'élimination.
- Transformer le système en matrice pour utiliser l'échelon de Gauss si nécessaire.
- S'assurer que le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues.
- Vérifier la cohérence du système avant de résoudre.
graph TD; A[Équations] --> B[Substitution ou Élimination]; B --> C[Matrice]; C --> D[Échelon de Gauss]; D --> E[Résultat];
Indications pour la résolution
- Commencez par isoler une variable dans l'une des équations.
- Substituez cette expression dans les autres équations.
- Répétez le processus jusqu'à ce que vous ayez une équation à une seule inconnue.
- Calculez la valeur de cette inconnue, puis substituez-la pour trouver les autres inconnues.
Corrigé des questions
Q1: Résoudre pour \(z\) dans la première équation :
Nous avons : \[2x + 3y - z = 1 \implies z = 2x + 3y - 1\]
Q2: Substituer \(z\) dans la deuxième équation :
On a alors : \[-x + 4y + 5(2x + 3y - 1) = 27 \]ce qui donne :\[-x + 4y + 10x + 15y - 5 = 27 \implies 9x + 19y = 32 \]
Q3: Substituer \(z\) dans la troisième équation :
Nous avons : \[3x + y + 2(2x + 3y - 1) = 3 \implies 3x + y + 4x + 6y - 2 = 3 \implies 7x + 7y = 5 \]qui se simplifie en : \[x + y = \frac{5}{7} \]
Q4: Résoudre le système obtenu :
Nous avons maintenant deux équations :1. \(9x + 19y = 32\)2. \(x + y = \frac{5}{7}\)En utilisant la substitution, nous remplaçons \(y\) dans la première équation :\[y = \frac{5}{7} - x \implies 9x + 19\left(\frac{5}{7} - x\right) = 32 \]ce qui nous mène à :\[9x + \frac{95}{7} - 19x = 32 \implies -10x = 32 - \frac{95}{7} \implies x = \frac{37}{70}\]\end{p}
En remplaçant \(x\) dans \(y\) : \[y = \frac{5}{7} - \frac{37}{70} = \frac{1}{70}\]
Finalement, remplaçons \(x\) et \(y\) pour trouver \(z\) :\[z = 2\left(\frac{37}{70}\right) + 3\left(\frac{1}{70}\right) - 1 \implies z = \frac{77 - 70}{70} = \frac{1}{70}\]
Réponse finale :
Le système a pour solutions :\[x = \frac{37}{70}, \quad y = \frac{1}{70}, \quad z = \frac{1}{70}.\]
Points clés à retenir
- Un système de trois équations et trois inconnues doit être équilibré.
- L'élimination et la substitution sont les deux principales méthodes de résolution.
- Les solutions peuvent être uniques, infinies ou inexistantes.
- Vérifiez toujours les solutions en substituant dans les équations originales.
- Pour un système cohérent, le rang de la matrice des coefficients doit être égal à celui de la matrice augmentée.
- Utilisez des graphes pour visualiser les solutions si possible.
- Les solutions peuvent être exprimées sous forme fractionnaire ou décimale.
- Des calculatrices graphiques peuvent simplifier la résolution.
- Considérez la possibilité de transformations pour simplifier les équations.
- En cas de dépendance des équations, il peut exister une infinité de solutions.
Définitions et descriptions
- Système d'équations : Un ensemble d'équations qui ont des variables communes.
- Inconnue : Une variable que l'on cherche à déterminer.
- Élimination : Une méthode qui consiste à supprimer une variable en combinant des équations.
- Substitution : Une technique où l'on résout une équation pour une variable et on l'utilise dans d'autres équations.
- Matrice : Un tableau de nombres qui représente des coefficients dans un système d'équations.
- Échelon de Gauss : Une méthode pour réduire les matrices à une forme « échelonnée ».
- Cohérence : Un système est dit cohérent s'il possède au moins une solution.
- Dépendance : Deux ou plusieurs équations sont dépendantes si l'une peut être dérivée des autres.
- Rang : Le rang d'une matrice est le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes.
- Solutions infinies : Un système d'équations peut avoir un nombre infini de solutions si les équations ne fournissent pas de restrictions suffisantes.