Construire des figures avec des transformations Exercices avec corrections
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Exercice sur la construction de figures avec des transformations géométriques
Dans cet exercice, nous allons explorer différentes transformations géométriques en construisant des figures. Répondez aux questions suivantes :- 1. Effectuez une translation du triangle ABC dont les sommets sont A(1, 2), B(3, 5), et C(5, 2) de vecteur v(2, -1).
- 2. Réalisez une rotation de 90 degrés autour du point O(0, 0) pour le triangle formé par les points D(2, 3), E(4, 1), F(3, 4).
- 3. Appliquez une réflexion par rapport à l'axe des abscisses sur le quadrilatère G(2, 2), H(3, 4), I(4, 2), J(3, 1).
- 4. Créez une homothétie de rapport 2 centrée à C(1, 1) pour le triangle K(0, 0), L(1, 1), M(2, 0).
Règles et formules sur les transformations géométriques
- Translation : Pour un point P(x, y) et un vecteur v(a, b), la nouvelle position P' est P'(x', y') où x' = x + a et y' = y + b.
- Rotation : Pour un point P(x, y) autour d'un point O(x0, y0) et d'un angle θ, les nouvelles coordonnées P' sont données par :
- Réflexion : La réflexion d'un point P(x, y) par rapport à l'axe des abscisses donne le point P'(x, -y).
- Homothétie : Pour un point P(x, y), une homothétie de rapport k centrée à C(xc, yc) donne P'(x', y') où x' = xc + k(x - xc) et y' = yc + k(y - yc).
\[\begin{align*}x' &= x_0 + (x - x_0) \cos(\theta) - (y - y_0) \sin(\theta) \\y' &= y_0 + (x - x_0) \sin(\theta) + (y - y_0) \cos(\theta)\end{align*}\]
Indications pour la réalisation des transformations
- Pour réaliser une translation, additionnez simplement les coordonnées du sommet avec celles du vecteur.
- Pour la rotation, n'oubliez pas de convertir les degrés en radians si nécessaire et utilisez les formules appropriées.
- La réflexion change le signe de la coordonnée y, ce qui est simple à appliquer.
- Pour l'homothétie, assurez-vous de respecter le rapport et le centre de transformation.
Corrigés des questions
Question 1
Effectuez une translation du triangle ABC : Coordonnées des points initiaux : A(1, 2), B(3, 5), C(5, 2) Vecteur de translation v(2, -1).Nouvelle position : A'(x', y') : \[\begin{align*}x' &= 1 + 2 = 3 \\y' &= 2 - 1 = 1\end{align*}\] Donc, A'(3, 1). Répétez cette opération pour B et C : B'(3 + 2, 5 - 1) = (5, 4), C'(5 + 2, 2 - 1) = (7, 1). Le nouveau triangle A'B'C' a pour sommets A'(3, 1), B'(5, 4), C'(7, 1).Question 2
Réalisez une rotation de 90 degrés autour de O(0, 0) pour le triangle D(2, 3), E(4, 1), F(3, 4). Utilisons la formule pour chaque point D, E et F :P' pour D(2, 3):\[\begin{align*}x' &= 0 + (2 - 0) \cdot 0 - (3 - 0) \cdot 1 = -3 \\y' &= 0 + (2 - 0) \cdot 1 + (3 - 0) \cdot 0 = 2\end{align*}\]Donc D'(-3, 2). Répétez pour E et F pour obtenir E'(-1, 4), F'(-4, 3).Question 3
Pour la réflexion par rapport à l'axe des abscisses : G(2, 2), H(3, 4), I(4, 2), J(3, 1). Appliquons la transformation : G'(2, -2), H'(3, -4), I'(4, -2), J'(3, -1).Question 4
Pour une homothétie de rapport 2 centrée à C(1, 1) pour K(0, 0), L(1, 1), M(2, 0): K'(x', y') :\[\begin{align*}x' &= 1 + 2(0 - 1) = -1 \\y' &= 1 + 2(0 - 1) = -1\end{align*}\]Donc K'(-1, -1). Répétez pour L(1, 1) et M(2, 0) pour obtenir L'(1, 1) et M'(3, -1).Points clés à retenir sur les transformations géométriques
- La translation déplace la figure sans changer sa forme.
- La rotation change l'orientation tout en conservant la forme.
- La réflexion inverse la figure par rapport à un axe.
- L'homothétie augmente ou diminue la taille de la figure.
- Les transformations peuvent être combinées pour créer des figures complexes.
- Utilisez des vecteurs pour les translations.
- Pour les rotations, utilisez des angles en radians.
- La confiance en soi dans les calculs est essentielle pour ne pas faire d'erreurs.
- Les transformations géométriques préservent certaines propriétés comme les angles et les longueurs égales dans des figures spécifiques.
- Pratique régulière pour maîtriser les transformations géométriques.
Définitions des termes utilisés
- Translation : Déplacement d'une figure dans un plan selon un vecteur donné.
- Rotation : Mouvement d'une figure autour d'un point fixe en maintenant sa forme et sa taille.
- Réflexion : Inversion des coordonnées par rapport à un axe de symétrie.
- Homothétie : Transformation qui change la taille d'une figure tout en la maintenant pour un centre de transformation donné.
- Point : Une position précise dans le plan donnée par ses coordonnées (x, y).