Calcul des aires après transformations géométriques
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Calcul des aires après transformations géométriques
Considérons un triangle de base \( b = 4 \) cm et de hauteur \( h = 3 \) cm. Nous allons explorer les effets de différentes transformations géométriques sur l'aire et le périmètre de ce triangle à travers les questions suivantes :- 1. Calculez l'aire initiale du triangle.
- 2. Que se passe-t-il si nous doublons la base ?
- 3. Que se passe-t-il si nous doublons la hauteur ?
- 4. Que se passe-t-il si nous transformons le triangle en un disque de même aire ? Calculez le rayon du disque.
- 5. Si le triangle est agrandi par un facteur de 3, quel sera l’impact sur son aire ?
- 6. Quelles transformations géométriques laissent l'aire inchangée ?
- 7. Si on effectue une rotation du triangle, l'aire change-t-elle ?
- 8. Si l'on traduit le triangle, quel est l'impact sur l’aire et le périmètre ?
Règles et méthodes pour le calcul des aires
- La formule de l'aire d'un triangle est \( A = \frac{1}{2} \times b \times h \).
- Multiplier la base ou la hauteur par un facteur \( k \) multiplie l'aire par \( k \).
- Une transformation telle que la rotation ou la translation ne change pas l'aire.
- Pour un disque, l'aire est donnée par \( A = \pi r^2 \).
- Si un polygone est agrandi par un facteur \( k \), l'aire est multipliée par \( k^2 \).
Indications pour résoudre les problèmes
- Utilisez la formule de l'aire pour toute forme géométrique.
- Sachez identifier les effets de multiplication sur les dimensions du triangle.
- Notez que les transformations comme la rotation et la translation n'affectent pas les aires.
- Pour une transformation d’agrandissement, appliquez le facteur aux dimensions et calculez le changement d’aire.
Correction détaillée des questions
1. L'aire initiale du triangle est calculée comme suit :
\[A = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ cm}^2\]
2. Doublant la base, nous avons :
\[A' = \frac{1}{2} \times 2b \times h = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ cm}^2\]
3. Doublant la hauteur, nous avons :
\[A'' = \frac{1}{2} \times b \times 2h = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12 \text{ cm}^2\]
4. Pour transformer en disque :
\[A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \approx 1.385 \text{ cm}\]
5. En agrandissant par un facteur de 3 :
\[A_{\text{agrandi}} = k^2 \times A = 3^2 \times 6 = 54 \text{ cm}^2\]
6. Les transformations comme la translation et la rotation conservent l’aire inchangée.
7. Une rotation du triangle n'affecte pas l'aire.
8. La traduction ne change pas l’aire ou le périmètre.
Points clés à retenir
- La formule de l’aire d’un triangle.
- Les effets des multiplications sur les longueurs.
- Les transformations sans effet sur l’aire.
- Utilisation de l’aire pour des figures circulaires.
- Les effets de l’agrandissement ou la réduction sur l’aire.
- Le rapport entre les dimensions d'un polygone et son aire.
- Examen des impacts des transformations sur les dimensions géométriques.
- Savoir identifier les propriétés des transformations géométriques.
- Conversion entre différentes formes géométriques par aire égale.
- Prendre en compte le contexte géométrique dans les transformations.
Définitions des termes utilisés
- Aire : mesure de la surface d’une figure géométrique.
- Transformation géométrique : opération qui change la position, la taille ou la forme d'une figure.
- Agrandissement : transformation qui augmente les dimensions d'une figure par un facteur donné.
- Réduction : transformation opposée à l'agrandissement.
- Rotation : transformation qui tourne une figure autour d’un point fixe.
- Translation : déplacement d’une figure dans une direction donnée sans la modifier.
- Polygone : figure géométrique plane composée de segments de droite.
- Disque : surface plane délimitée par un cercle.
- Facteur de proportionnalité : coefficient qui indique le changement de taille d'une figure.
- Rayon : distance du centre d’un cercle à un point sur le cercle.