Exercices Corrigés Translations et Longueurs 2
Explorez des exercices sur les translations en géométrie, avec les corrections illustrées pour aider à comprendre les transformations des longueurs.
Exercice Corrigé : Translations et Longueurs
Un rectangle possède les sommets A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3), D(1, 3). Nous allons le translater et étudier les longueurs et distances impliquées.- 1. Quelles seront les coordonnées des sommets après une translation de vecteur u = (2, 3) ?
- 2. Calculez la longueur du segment AB avant et après la translation.
- 3. Calculez la distance entre les points A et D avant et après la translation.
- 4. Tracez le rectangle initial et le rectangle après translation.
- 5. Que constatez-vous concernant les longueurs et distances après translation ?
- 6. Déterminez la translation de vecteur v = (-1, -2) pour le point C. Quelles en sont les nouvelles coordonnées ?
- 7. Si le rectangle initial est sur un plan cartésien, décrivez les effets de la translation sur son orientation.
Règles et Formules des Translations
- Une translation déplace chaque point d'un espace selon un vecteur donné.
- Si A(x, y) est le point initial et u(a, b) est le vecteur de translation, alors A'(x', y') sera donné par :
- La distance entre deux points A(x1, y1) et B(x2, y2) est donnée par la formule :
A'(x', y') = (x + a, y + b)
d(A, B) = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}
Indications pour les Solutions
- Identifiez les points avant de les translater.
- Appliquez la formule de translation pour chaque point séparément.
- Utilisez les coordonnées obtenues pour calculer les longueurs.
- Pour le tracé, utilisez un système de coordonnées adapté.
- Comparez les longueurs et distances avant et après la translation.
Solutions Détailées aux Questions
1. Pour chaque point P(x, y), après translation par u(2, 3), les nouvelles coordonnées sont :
A'(1+2, 1+3) = A'(3, 4)
B'(4+2, 1+3) = B'(6, 4)
C'(4+2, 3+3) = C'(6, 6)
D'(1+2, 3+3) = D'(3, 6)
2. Longueur du segment AB :
AB = |xB - xA| = |4 - 1| = 3
Après translation, la longueur demeure constante : AB' = |6 - 3| = 3.
3. Distance AD avant translation :
d(A, D) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2.
Après translation :
d(A', D') = \sqrt{(3 - 3)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2.
4. Pour le tracé, utilisez Chart.js :
5. La translation ne change pas la longueur, mais la position des points !
6. Pour le point C(4, 3) avec le vecteur v(-1, -2) après translation : C' = (4-1, 3-2) = (3, 1).
7. La translation ne modifie pas l'orientation ou l'angle du rectangle, mais déplace l'ensemble dans l'espace.
Points Clés à Retenir sur les Translations
- Une translation ne change pas les longueurs.
- Les coordonnées se modifient uniquement selon le vecteur de translation.
- Le résultat de la translation est équidistant des points d'origine.
- Les angles et orientations restent constants après translation.
- Utiliser le calcul des distances pour vérifier l'exactitude des translations.
- Les translations sont des transformations géométriques simples.
- Chaque point est déplacé de la même façon par un vecteur.
- Les formes géométriques restent identiques après translation.
- Une translation peut être visualisée graphiquement.
- Il est essentiel de savoir utiliser les coordonnées pour les translations.
Définitions Clés des Translations
- Translation : Mouvement d'un point ou d'une figure à l'aide d'un vecteur.
- Vecteur : Entité définie par une direction, une origine et une portée.
- Coordinate (Coordonnée) : Les valeurs décrivant la position d'un point dans un espace.
- Distance : Mesure de l'espace entre deux points.
- Point : Emplacement précis dans un espace, défini par des coordonnées.
- Rectangle : Quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles et de même longueur.