Exercices d'angle et rayons du cercle trigonométrique - Niveau 2
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Exercices d'angle et rayons du cercle trigonométrique - Niveau 2
Dans cet exercice, nous explorerons les propriétés des angles et des rayons dans le cercle trigonométrique. Vous devrez répondre aux questions suivantes :
- Question 1 : Quelles sont les coordonnées du point correspondant à un angle de \( \frac{\pi}{3} \) radians ?
- Question 2 : Calculez la valeur de \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \) et \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \).
- Question 3 : Quel est l'angle associé au point \( (0, -1) \) sur le cercle trigonométrique ?
- Question 4 : Trouvez les coordonnées du point correspondant à un angle de \( \frac{5\pi}{6} \) radians.
- Question 5 : Montrez que \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) pour un angle \( x = \frac{\pi}{6} \).
- Question 6 : Quel est l'angle en radians dont le cosinus est égal à \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) ?
Règles et Formules du Cercle Trigonométrique
- Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine.
- Les coordonnées d'un point sur le cercle pour un angle \( \theta \) sont données par : \( ( \cos(\theta), \sin(\theta) ) \).
- Les angles sont mesurés à partir de l'axe positif des x, en radians.
- Les angles \( \pi \) radians et \( 2\pi \) radians correspondent respectivement à des demi-tours et des tours complets.
- Pour les angles spéciaux :
- \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \)
- \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \)
Indications pour Résoudre les Exercices
- Utilisez les valeurs connues des fonctions trigonométriques pour les angles particuliers.
- Pour trouver les coordonnées, appliquez la formule \( ( \cos(\theta), \sin(\theta) ) \).
- Pour vérifier les identités trigonométriques, remplacez \( x \) par l'angle donné.
- Pour les angles en quadrants différents, faites attention aux signes des coordonnées.
- Utilisez un calculatrice ou un tableau de valeurs trigonométriques si nécessaire.
Corrigés des Exercices
Question 1 : Pour un angle de \( \frac{\pi}{3} \) radians, les coordonnées sont :
\( \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right), \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
Question 2 : Calculons \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \) et \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \) :
\( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Question 3 : Le point \( (0, -1) \) correspond à l'angle \( \frac{3\pi}{2} \) radians.
Question 4 : Pour \( \frac{5\pi}{6} \), les coordonnées sont :
\( \left( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right), \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) \)
Question 5 : Vérifions \( \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) \):
\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \), confirmant l'identité.
Question 6 : L'angle dont le cosinus est \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) est \( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) pour un entier \( k \).
Points Clés à Retenir
- Le cercle trigonométrique établit une relation directe entre les angles et les coordonnées.
- Les valeurs de \( \sin \) et \( \cos \) sont essentielles pour les calculs trigonométriques.
- Les angles sont exprimés en radians dans le cercle trigonométrique.
- Utilisez les relations trigonométriques pour résoudre des équations.
- Les quadrants du cercle influencent le signe des coordonnées.
- Les angles symétriques peuvent simplifier les calculs.
- Les identités trigonométriques comme \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) sont fondamentales.
- Il existe des valeurs de référence pour les fonctions trigonométriques.
- Faites attention aux angles d'orientation, en particulier entre \( 0 \) et \( 2\pi \).
- Pratiquez régulièrement les conversions entre degrés et radians.
Définitions et Terminologie
- Cercle trigonométrique : Un cercle de rayon 1, utilisé pour définir les fonctions sinus et cosinus.
- Angle : La mesure, souvent en radians, de la rotation autour d'un point.
- Rayon : Un segment de droite qui va du centre du cercle à un point sur le cercle.
- Sinus : Une fonction trigonométrique qui donne la coordonnée y d'un point sur le cercle trigonométrique.
- Cosinus : Une fonction trigonométrique qui donne la coordonnée x d'un point sur le cercle trigonométrique.
- Radians : Une unité de mesure des angles, définie comme le rapport entre la longueur de l'arc et le rayon du cercle.
- Quadrants : Les quatre sections du plan formées par les axes x et y.
- Identité trigonométrique : Une relation mathématique qui est vraie pour tous les angles.
- Angle associé : Un angle ayant le même sinus ou cosinus, mais pouvant se situer dans un autre quadrant.
- Valeurs de référence : Les valeurs de sinus et cosinus pour des angles spécifiques souvent utilisés en trigonométrie.
Trigonométrie Exercices sur les coordonnées du cercle - Niveau 3